Đáp án đúng: C

Phương pháp giải:

+ Sử dụng điều kiện cực đại giao thoa giữa 2 nguồn cùng pha: \({d_2} - {d_1} = k\lambda \)
+ Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác
+ Sử dụng biểu thức xác định số cực đại giao thoa giữa hai nguồn cùng pha: \( - \frac{L}{\lambda } < k < \frac{L}{\lambda }\)Giải chi tiết:
Ta có: \({S_1}{S_2}^2 = {S_1}{O^2} + {S_2}{O^2} \Rightarrow {S_1}O \bot {S_2}O\)
Lại có: \(O\) dao động với biên độ 2a \( \Rightarrow \) O là cực đại giao thoa
\( \Rightarrow {S_2}O - {S_1}O = k\lambda  \Leftrightarrow 12 - 5 = 7cm = {k_O}\lambda \,\,\,\left( 1 \right)\)
Gọi \({M_1},{M_2}\) lần lượt là khoảng cách từ \({S_1},{S_2}\) đến đường thẳng \(d\)
Ta có tổng khoảng cách từ 2 nguồn đến d:
\(d = {S_1}{M_1} + {S_2}{M_2} \le {S_1}M + {S_2}M\)
\( \Rightarrow {d_{ma{\rm{x}}}} = {S_1}M + {S_2}M\) khi đó \(OM \bot {S_1}{S_2}\)
\( \Rightarrow \frac{1}{{O{M^2}}} = \frac{1}{{{S_1}{O^2}}} + \frac{1}{{{S_2}{O^2}}} \Rightarrow OM = \frac{{60}}{{13}}cm\)
Tại M dao động với biên độ 2a \( \Rightarrow M\) là cực đại giao thoa
\( \Rightarrow {S_2}M - {S_1}M = \sqrt {{{12}^2} - {{\left( {\frac{{60}}{{13}}} \right)}^2}}  - \sqrt {{5^2} - {{\left( {\frac{{60}}{{13}}} \right)}^2}}  = \frac{{119}}{{13}} = {k_M}\lambda \,\,\,\left( 2 \right)\)
Lấy \(\frac{{\left( 1 \right)}}{{\left( 2 \right)}}\) ta suy ra \( \Rightarrow \frac{{{k_O}}}{{{k_M}}} = \frac{7}{{\frac{{119}}{{13}}}} = \frac{{13}}{{17}}\)
\({S_1}{S_2}\) tối thiểu \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{k_O} = 13\\{k_M} = 17\end{array} \right. \Rightarrow \lambda  = \frac{7}{{13}}cm\)
\( \Rightarrow \) \({S_1}{S_2}\) có số cực đại bằng số giá trị k nguyên thỏa mãn:
\(\begin{array}{l} - \frac{{{S_1}{S_2}}}{\lambda } < k < \frac{{{S_1}{S_2}}}{\lambda } \Leftrightarrow  - \frac{{13}}{{\frac{7}{{13}}}} < k < \frac{{13}}{{\frac{7}{{13}}}}\\ \Leftrightarrow  - 24,14 < k < 24,14 \Rightarrow k =  - 24; - 23;...;24\end{array}\)
Có 49 giá trị k nguyên thỏa mãn \( \Rightarrow \) có 49 cực đại.
Đáp án C.