Đáp án đúng:

Phương pháp giải:

Sử dụng đánh giá, ta chặn được khoảng giá trị của \(a\) , sau đó xét các trường hợp có thể xảy raGiải chi tiết:Đặt \({b^2} + 3a = k{a^2}b\left( {k \in \mathbb{N}*} \right) \Rightarrow b\left( {k{a^2} - b} \right) = 3a\)
Đặt \(k{a^2} - b = m\left( {m \in \mathbb{N}*} \right) \Rightarrow m + b = k{a^2}\) và \(bm = 3a\)
Có \(\left( {m - 1} \right)\left( {b - 1} \right) = mb - \left( {m + b} \right) + 1 = 3a - k{a^2} + 1\)
Vì \(m,b \in \mathbb{N}* \Rightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {b - 1} \right) \ge 0\)
Suy ra \(3a - k{a^2} + 1 \ge 0 \Leftrightarrow a\left( {ka - 3} \right) \le 1\)
Nếu \(ka \ge 5 \Rightarrow ka - 3 \ge 2 \Rightarrow a\left( {ka - 3} \right) \ge 2\)
Suy ra \(ka \le 4\), mà \(a,k \in \mathbb{N}*\)
TH1: \(a = 4,k = 1 \Rightarrow {b^2} + 12 = 9b\), không tồn tại \(b\) nguyên thỏa mãn
TH2: \(a = 1,k = 4 \Rightarrow {b^2} + 3 = 4b \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 1\\b = 3\end{array} \right.\)
TH3: \(a = 3,k = 1 \Rightarrow {b^2} + 9 = 9b\), không tồn tại \(b\) nguyên thỏa mãn
TH4: \(a = 1,k = 3 \Rightarrow {b^2} + 3 = 3b\), không tồn tại  nguyên thỏa mãn
TH5: \(a = k = 2 \Rightarrow {b^2} + 6 = 8b\), không tồn tại \(b\) nguyên thỏa mãn
TH6: $a=2,k=1\Rightarrow {{b}^{2}}+6=4b,$ không tồn tại $b$ nguyên thỏa mãn
TH7: $a=1,k=2\Rightarrow {{b}^{2}}+3=2b,$ không tồn tại \(b\) nguyên thỏa mãn
TH8: \(a = k = 1 \Rightarrow {b^2} + 3 = b\), không tồn tại  nguyên thỏa mãn
Vậy $\left( a;b \right)\in \left\{ \left( 1;1 \right),\left( 1;3 \right) \right\}$.