Đáp án đúng: D
Giải chi tiết:Sưu tầm ToanmathĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 4y > 0\\{x^2} + {y^2} + 1 \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2y > 0\\{x^2} + {y^2} \ne 0\end{array} \right.\).Theo bài ra ta có \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\log _{{x^2} + {y^2} + 1}}\left( {2x - 4y} \right) = 1\\ \Leftrightarrow 2x - 4y = {x^2} + {y^2} + 1\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)Ta có: \(S = 4x + 3y + 5 = 4\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + 2} \right) - 7\).Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:\(\begin{array}{l}{\left[ {4\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + 2} \right)} \right]^2} \le \left( {{4^2} + {3^2}} \right)\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2}} \right] = 25.4 = 100\\ \Leftrightarrow 4\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + 2} \right) \le 10\\ \Leftrightarrow 4\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + 2} \right) - 7 \le 3\end{array}\)\( \Rightarrow {S_{\max }} = 3 \Leftrightarrow \dfrac{{x - 1}}{4} = \dfrac{{y + 2}}{3}\,\,\left( 2 \right)\)Từ (1) và (2) ta giải được \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{13}}{5};\,\,y =  - \dfrac{4}{5}\,\,\left( {tm} \right)\\x =  - \dfrac{3}{5};\,\,y =  - \dfrac{{22}}{5}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)Vậy khi đó \(P = xy =  - \dfrac{{52}}{{25}}\).Chọn D