Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là:
$x^2-2(m+1)x+m-4=0$ $(*)$
Vì $(d)$ cắt $(P)$ tại $2$ điểm cùng một góc phần tư của mặt phẳng tọa độ nên hai nghiệm của phương trình $(*)$ cùng lớn hơn $0$ hoặc cùng nhỏ hơn $0$
+) Trường hợp $1$: Cả $2$ nghiệm đều dương, thỏa mãn $3$ điều kiện sau:
$Δ'>0$ $(1)$
$S>0$ $(2)$
$P>0$ $(3)$
Giải $(1)$ ta được: $(m+1)^2-m+4>0⇔m^2+m+5>0$ (Đúng $∀m∈R$)
Giải $(2)$ ta được: $2(m+1)>0⇔m>-1$
Giải $(3)$ ta được: $m-4>0⇔m>4$
Vậy $m>4$ cho trường hợp cả $2$ nghiệm đều dương.
+) Trường hợp $2$: Cả $2$ nghiệm đều âm, thỏa mãn $3$ điều kiện sau:
$Δ'>0$ $(4)$
$S<0$ $(5)$
$P>0$ $(6)$
Giải $(4)$ ta được: $m^2+m+5>0$ (Đúng $∀m∈R$)
Giải $(5)$ ta được: $2(m+1)<0⇔m<-1$
Giải $(6)$ ta được: $m-4>0⇔m>4$
Vậy phương trình vô nghiệm cho trường hợp cả $2$ nghiệm đều âm.
→ Kết luận: Vậy với $m>4$ thì $(d)$ cắt $(P)$ tại $2$ điểm trong cùng một góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng tọa độ $(x>0, y>0)$.
