- Biến đổi để xét hàm đặc trưng.- Biểu diễn \(x\) theo \(y\), dựa vào khoảng giá trị của \(y\) đề bài cho tìm các giá trị nguyên \(x\) thỏa mãn.Giải chi tiết:Ta có:\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\log _2}\left( {\dfrac{{{3^x} - 1}}{{2y}}} \right) = y - {3^x} \Leftrightarrow \dfrac{{{3^x} - 1}}{{2y}} = {2^{y - {3^x}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{3^x} - 1}}{{2y}} = \dfrac{{{2^y}}}{{{2^{{3^x}}}}} \Leftrightarrow {2^{{3^x}}}\left( {{3^x} - 1} \right) = {2^y}.2y \Leftrightarrow {2^{{3^x}}}\left( {{3^x} - 1} \right) = {2^{y + 1}}.y\end{array}\)Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t}\left( {t - 1} \right)\) với \(t > 1\) ta có \(f'\left( t \right) = {2^t}\ln \left( {t - 1} \right) + {2^t} > 0\,\,\forall t > 1\) nên hàm số đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).Mà \(f\left( {{3^x}} \right) = f\left( {{2^{y + 1}}} \right) \Leftrightarrow {3^x} = y + 1\).Vì \(0 < y \le 2021\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow 1 < y + 1 \le 2022 \Leftrightarrow 2 < {3^x} \le 2022\\ \Leftrightarrow {\log _3}2 < x \le {\log _3}2022\end{array}\)Mà \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {1;2;3;...;6} \right\}\).Ứng với mỗi giá trị của \(x\) cho ta 1 giá trị của \(y\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.Vậy có 6 cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn.Chọn B
