Đáp án đúng: D
Giải chi tiết:+) Đặt \(\cot x = t \Rightarrow f\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} - 2mt + 2{m^2} - 1}}{{t - m}}\) ;

Nhận xét: Khi x tăng từ \(\dfrac{\pi }{4} \to \dfrac{\pi }{2}\) thì t giảm từ \(1 \to 0\)

\( \Rightarrow \) Tính chất đơn điệu của \(f\left( x \right)\) và \(f\left( t \right)\) ngược nhau trong các khoảng tương ứng.
\( \Rightarrow \) ycbt\( \Leftrightarrow f\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} - 2mt + 2{m^2} - 1}}{{t - m}}\) phải đồng biến trên \(\left( {0;1} \right)\).
+) ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}t \ne m\\t \in \left( {0;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow m \notin \left( {0;1} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le 0\\m \ge 1\end{array} \right.\,\,\left( 1 \right)\)
+) \(f'\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} - 2mt + 1}}{{{{\left( {t - m} \right)}^2}}} \ge 0\,\,\forall \,\,t \in \left( {0;1} \right)\) \( \Leftrightarrow {t^2} - 2mt + 1 \ge 0\,\,\forall \,\,t \in \left( {0;1} \right) \Leftrightarrow m \le \dfrac{{{t^1} + 1}}{{2t}}\,\,\forall \,\,t \in \left( {0;1} \right)\)
Đặt \(g\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} + 1}}{{2t}}\,;\,t \in \left( {0;1} \right)\) \( \Rightarrow m \le \mathop {\min \,g\left( t \right)}\limits_{t \in \left( {0;1} \right)} \,\,\left( 1 \right)\)
\(g\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} + 1}}{{2t}} = \dfrac{1}{2}\left( {t + \dfrac{1}{t}} \right)\)
\(g'\left( t \right) = \dfrac{1}{2}\left( {1 - \dfrac{1}{{{t^2}}}} \right) = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{{t^2} - 1}}{{{t^2}}} < 0\,\forall \,\,t \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow \mathop {\min g\left( t \right)}\limits_{t \in \left( {0;1} \right)}  = {1^ + }\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right) + \left( 2 \right) \Rightarrow m \le 1\); Do \(\left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\m \in \left[ { - 2019;2019} \right]\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\ - 2019 \le m \le 1\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \) Có 2021 giá trị của \(m\)
Chọn D.