Xét tam giác ABC vuông cân tại A có: góc ABC = góc ACB = 45 độ
Vì BE vuông góc với d; CF vuông góc với d
=> BE song song CF
=> Góc EBC + góc FCB = 180 độ ( 2 góc trong cùng phía)
Mà góc EBC = góc EBA + góc ABC
góc FCB = góc FCA + góc ACB
=> góc EBA + góc ABC + góc FCA + góc ACB = 180 độ
<=>góc EBA + góc FCA + 45 độ + 45 độ = 180 độ
<=>góc EBA + góc FCA = 90 độ
Mà góc EBA + góc EAB = 90 độ ( 2 góc phụ nhau trong tam giác EBA vuông tại A )
=> góc FCA = góc EAB
Xét tam giác EBA và tam giác FCA có:
AB = AC ( giả thuyết )
góc BEA = góc ÀC = 90 độ
góc FCA = góc EAB ( chứng minh trên )
Do đó tam giác EBA = tam giác FCA ( Cạnh huyền - góc nhọn)
=> EB = AF ( 2 cạnh tương ứng) (1)
=> EA = CF ( 2 cạnh tương ứng ) (2)
Từ (1) và (2) ta có: EA + AF = EB + CF
<=> EF = BE + CF
Vì EF bằng tổng độ dài của 2 cạnh BE và CF nên EF>BE và EF>CF
