Đáp án:
Dựng ra phía ngoài tam giác điểm $N,$ sao cho $\triangle{ANC}\sim \triangle{AMB}$
\[\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \dfrac{AN}{AM}=\dfrac{AB}{AC} & \\ \widehat{BAC}=\widehat{MAN} & \end{matrix}\right.\]
\[⇒\triangle{AMN}\sim \triangle{ABC}\]
\[⇒\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\]
\[⇒\widehat{AMC}-\widehat{ABC}=\widehat{AMC}-\widehat{AMN}=\widehat{CMN}(1)\]
Mặt khác: \[ \left\{\begin{matrix}
\widehat{ANC}=\widehat{AMB} & \\
\widehat{ANM}=\widehat{ACB} &
\end{matrix}\right.\]
\[⇒\widehat{AMB}-\widehat{ACB}=\widehat{ANC}-\widehat{ANM}=\widehat{MNC}(2)\]
Từ $(1);(2);\widehat{CMN}=\widehat{CNM}$
\[⇒CN=CM\]
\[⇒\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{CN}{AC}=\dfrac{CM}{AC}\Rightarrow \dfrac{AM}{CM}=\dfrac{AB}{AC}\]
Vậy $M$ thuộc đường tròn $Appolonius$ dựng trên đoạn $AC$ với tỉ số $\dfrac{AB}{AC}$
