Đáp án đúng: B Giải chi tiết:ĐKXĐ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3 > 0 \Leftrightarrow x > - 3\\ax > 0\end{array} \right.\) Ta có: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\log _{\sqrt 3 }}\left( {x + 3} \right) = {\log _3}\left( {ax} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _3}{\left( {x + 3} \right)^2} = {\log _3}\left( {ax} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 3} \right)^2} = ax\,\,\left( * \right)\end{array}\)Dễ dàng nhận thấy \(x = 0\) không là nghiệm của (*) nên (*) \( \Leftrightarrow a = \dfrac{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}{x} = x + 6 + \dfrac{9}{x}\,\,\left( {x \ne 0} \right)\). Xét hàm số \(f\left( x \right) = x + 6 + \dfrac{9}{x}\,\,\left( {x \ne 0} \right)\) ta có \(f'\left( x \right) = 1 - \dfrac{9}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 3\) BBT:
Dựa vào BBT ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất \(x > - 3\) khi và chỉ khi \(\left[ \begin{array}{l}m \le - 3\\m = 12\end{array} \right.\). Kết hợp điều kiện đề bài \( \Rightarrow m \in \left\{ { - 2021; - 2020;...; - 3;12} \right\}\). Vậy có 2020 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B
