Hai người ban đầu ở các vị trí A và B trên hai con đườ A.a. 3 phút; b. 144 s, BM = 351 m, AD = 576 m. B.a. 3 phút; b. 144 s, BM = 576 m, AD = 351 m. C.a. 3 phút; b. 150 s, BM = 351 m, AD = 576 m. D.a. 3 phút; b. 180 s, BM = 351 m, AD = 576 m.
Quãng đường: \(S = v.t\) Định lí Py-ta-go cho tam giác vuông: \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) Hai người gặp nhau khi: \({t_1} = {t_2}\) Phương tình bậc hai: \(a{x^2} + bx + c = 0\) có nghiệm khi: \(\Delta \ge 0\) với \(\Delta = {b^2} - 4ac\) Giải chi tiết:a. Thời gian hai người chuyển động là:\(\begin{array}{l}{t_1} = \dfrac{{{S_1}}}{{{v_1}}} = \dfrac{{AC}}{{{v_1}}}\\{t_2} = \dfrac{{{S_2}}}{{{v_2}}} = \dfrac{{BC}}{{{v_2}}}\end{array}\) Hai người gặp nhau tại C khi:\({t_1} = {t_2} \Rightarrow \dfrac{{AC}}{{{v_1}}} = \dfrac{{BC}}{{{v_2}}} \Rightarrow BC = AC.\dfrac{{{v_2}}}{{{v_1}}} = AC.\dfrac{5}{4} = 1,25AC\) Áp dụng định lí Py-ta-go cho tam giác vuông ABC, ta có:\(\begin{array}{l}B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} \Rightarrow {\left( {1,25AC} \right)^2} = A{C^2} + A{B^2}\\ \Rightarrow 1,5625A{C^2} = A{C^2} + A{B^2} \Rightarrow 0,5625A{C^2} = A{B^2}\\ \Rightarrow 0,75AC = AB \Rightarrow AC = \dfrac{{AB}}{{0,75}} = \dfrac{l}{{0,75}} = \dfrac{{540}}{{0,75}} = 720\,\,\left( m \right)\end{array}\) Thời gian chuyển động của hai người là:\({t_1} = {t_2} = \dfrac{{AC}}{{{v_1}}} = \dfrac{{720}}{4} = 180\,\,\left( s \right) = 3\,\,\left( {phut} \right)\) b. Chiếu M lên AD, ta có hình vẽ:Đặt BM = xÁp dụng định lí Py-ta-go cho tam giác vuông MM’D, ta có:\(M{D^2} = MM{'^2} + M'{D^2} = {540^2} + M'{D^2}\) Quãng đường người thứ nhất đi được là:\({S_1} = AD = {v_1}t \Rightarrow x + M'D = 4t \Rightarrow M'D = 4t - x\) Độ dài quãng đường MD người thứ hai đi được là:\(\begin{array}{l}MD = {v_2}\left( {t - {t_2}'} \right) = {v_2}\left( {t - \dfrac{x}{{{v_2}'}}} \right) = 5.\left( {t - \dfrac{x}{{13}}} \right)\\ \Rightarrow M{D^2} = {5^2}.{\left( {t - \dfrac{x}{{13}}} \right)^2} \Rightarrow {540^2} + {\left( {4t - x} \right)^2} = 25.{\left( {t - \dfrac{x}{{13}}} \right)^2}\\ \Rightarrow {540^2} + 16{t^2} - 8xt + {x^2} = 25{t^2} - \dfrac{{50}}{{13}}xt + \dfrac{{25}}{{169}}{x^2}\\ \Rightarrow \dfrac{{144}}{{169}}{x^2} - \dfrac{{54}}{{13}}xt - 9{t^2} + {540^2} = 0\,\,\left( 1 \right)\end{array}\) Ta có: \(\Delta = {\left( {\dfrac{{54}}{{13}}t} \right)^2} - 4.\dfrac{{144}}{{169}}.\left( { - 9{t^2} + {{540}^2}} \right)\) Phương trình (1) có nghiệm khi:\(\Delta \ge 0 \Rightarrow t \ge 144\,\,\left( s \right) \Rightarrow {t_{\min }} = 144\,\,\left( s \right)\) Khi đó, phương trình (1) có 1 nghiệm duy nhất:\(x = BM = 351\,\,\left( m \right)\) Độ dài quãng đường AD là:\(AD = {v_1}{t_{\min }} = 4.144 = 576\,\,\left( m \right)\)