$M=\frac{1}{2²}+$ $\frac{1}{3²}+$ $\frac{1}{4²}+....$ $+\frac{1}{n²}$
Ta có:
$\frac{1}{2²}=$ $\frac{1}{2.2}<$ $\frac{1}{1.2}$
$\frac{1}{3²}=$ $\frac{1}{3.3}<$ $\frac{1}{2.3}$
.........
$\frac{1}{n²}=$ $\frac{1}{n.n}<$ $\frac{1}{n.(n+1)}$
⇒$M=\frac{1}{2²}+$ $\frac{1}{3²}+$ $\frac{1}{4²}+....$ $+\frac{1}{n²}<$$\frac{1}{1.2}+$ $\frac{1}{2.3}+$ $...+\frac{1}{n.(n+1)}$
⇒$M=\frac{1}{2²}+$ $\frac{1}{3²}+$ $\frac{1}{4²}+....+\frac{1}{n.(n+1)}<$ $\frac{1}{1}-$ $\frac{1}{2}+$ $\frac{1}{2}-$ $\frac{1}{3}+$ $....+\frac{1}{n}-$ $\frac{1}{n+1}$
⇒$M=\frac{1}{2²}+$ $\frac{1}{3²}+$ $\frac{1}{4²}+....+\frac{1}{n.(n+1)}<$$1-\frac{1}{n}$
$ mà 1-\frac{1}{n}<1$
⇒$M=\frac{1}{2²}+$ $\frac{1}{3²}+$ $\frac{1}{4²}+....$ $+\frac{1}{n²}<1$(đpcm)
