Đáp án đúng: A

Phương pháp giải:

Giả sử hệ phương trình có nghiệm \(\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) khi đó \(\left( {{y_0};\,\,{x_0}} \right)\) cũng là một nghiệm của hệ. Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì \({x_0} = {y_0}\).Giải chi tiết:Giả sử hệ phương trình có nghiệm \(\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) khi đó \(\left( {{y_0};\,\,{x_0}} \right)\) cũng là một nghiệm của hệ. Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì \({x_0} = {y_0}\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}3x_0^2 = m + 6\\x_0^2 + 4{x_0} = m\end{array} \right. \Rightarrow 3x_0^2 = x_0^2 + 4{x_0} + 6\)\( \Leftrightarrow 2x_0^2 - 4{x_0} - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} =  - 1 \Rightarrow m =  - 3}\\{{x_0} = 3 \Rightarrow m = 21}\end{array}} \right.\)+ Với \(m =  - 3\) hệ trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + xy + {y^2} = 3\\2\left( {x + y} \right) + xy =  - 3\end{array} \right.\)Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S = x + y}\\{P = xy}\end{array}} \right.\,\,\left( {{S^2} \ge 4P} \right)\), hệ phương trình trở thành: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{S^2} - P = 3}\\{2{\rm{S}} + P =  - 3}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{S^2} + 2{\rm{S}} = 0}\\{P =  - 2{\rm{S}} - 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{S = 0}\\{S =  - 2}\end{array}} \right.}\\{P =  - 2{\rm{S}} - 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S = 0}\\{P =  - 3}\end{array}} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S =  - 2}\\{P = 1}\end{array}} \right.\)Khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S = 0}\\{P =  - 3}\end{array}} \right.\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x + y =  - 2\\xy = 1\end{array} \right.\) suy ra \(x,\,\,y\) là nghiệm của phương trình \({X^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{X = \sqrt 3 }\\{X =  - \sqrt 3 }\end{array}} \right.\) Do đó hệ có nghiệm là \(\left( {\sqrt 3 ;\,\, - \sqrt 3 } \right)\) và \(\left( { - \sqrt 3 ;\,\,\sqrt 3 } \right)\).Suy ra \(m =  - 3\) thì hệ phương trình không có nghiệm duy nhất..+ Với \(m = 21\) hệ trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + xy + {y^2} = 27\\2x + xy + 2y = 21\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} - xy = 27\\2\left( {x + y} \right) + xy = 21\end{array} \right.\)Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S = x + y}\\{P = xy}\end{array}} \right.\,\,\left( {{S^2} \ge 4P} \right)\), hệ phương trình trở thành: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{S^2} - P = 27}\\{2{\rm{S}} + P = 21}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{S^2} + 2S - 48 = 0}\\{P =  - 2S + 21}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{S = 6}\\{S =  - 8}\end{array}} \right.}\\{P =  - 2S + 21}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S = 6}\\{P = 9}\end{array}} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S =  - 8}\\{P = 37}\end{array}} \right.\)(loại)Khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S = 6}\\{P = 9}\end{array}} \right.\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 6\\xy = 9\end{array} \right.\) suy ra \(x,\,\,y\) là nghiệm của phương trình: \({X^2} - 6X + 9 = 0 \Leftrightarrow X = 3\) Suy ra hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {3;\,\,3} \right)\) Vậy với \(m = 21\) thì hệ có nghiệm duy nhất.Chọn A