+ Do ABCD là hình thang cân với đáy CD và hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau nên tam giác ICD vuông cân tại I
Đường thẳng qua I vuông góc với CD: x - 3y - 3 = 0 có phương trình:
3 ( x − 2 ) + ( y − 3 ) = 0 ⇔ 3 x + y − 9 = 0 3(x-2)+(y-3)=0\Leftrightarrow 3x+y-9=0 3 ( x − 2 ) + ( y − 3 ) = 0 ⇔ 3 x + y − 9 = 0
Gọi K là trung điểm của CD, ta có tọa độ K là nghiệm của hệ:
{ x − 3 y − 3 = 0 3 x + y − 9 = 0 ⇔ { x = 3 y = 0 ⇒ K ( 3 ; 0 ) \left\{\begin{matrix} x-3y-3=0\\ 3x+y-9=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=3\\y=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow K(3;0) { x − 3 y − 3 = 0 3 x + y − 9 = 0 ⇔ { x = 3 y = 0 ⇒ K ( 3 ; 0 )
Mà KI = KC = KD nên C, D là giao điểm của đường thẳng CD và đường tròn tâm K bán kính K I = 10 KI=\sqrt{10} K I = 1 0
Do đó tọa độ của chúng là nghiệm của hệ { x − 3 y − 3 = 0 ( x − 3 ) 2 + y 2 = 10 \left\{\begin{matrix} x-3y-3=0\\ (x-3)^{2}+y^{2}=10 \end{matrix}\right. { x − 3 y − 3 = 0 ( x − 3 ) 2 + y 2 = 1 0
⇒ C(6; 1), D(0; -1) do C có hoành độ dương
Gọi H là trung điểm của AB, ta có:
45 2 = S A B C D ⇔ 45 2 = 1 2 ( A B + C D ) . H K = ( I H + I K ) . H K = ( I H + I K ) . H K = ( I H + 10 ) 2 ⇒ I H = 10 2 \frac{45}{2}=S_{ABCD}\Leftrightarrow \frac{45}{2}=\frac{1}{2}(AB+CD).HK=(IH+IK).HK=(IH+IK).HK=(IH+\sqrt{10})^{2}\Rightarrow IH=\frac{\sqrt{10}}{2} 2 4 5 = S A B C D ⇔ 2 4 5 = 2 1 ( A B + C D ) . H K = ( I H + I K ) . H K = ( I H + I K ) . H K = ( I H + 1 0 ) 2 ⇒ I H = 2 1 0
Mà I D I B = I K I H = 2 ⇒ D I → = 2 I B → ⇒ B ( 3 ; 5 ) ⇒ B C → = ( 3 ; − 4 ) \frac{ID}{IB}=\frac{IK}{IH}=2\Rightarrow \overrightarrow{DI}=2\overrightarrow{IB}\Rightarrow B(3;5)\Rightarrow \overrightarrow{BC}=(3;-4) I B I D = I H I K = 2 ⇒ D I = 2 I B ⇒ B ( 3 ; 5 ) ⇒ B C = ( 3 ; − 4 )
Vậy đường thẳng BC: 4(x - 3) + 3(y - 5) = 0 ⇔ 4x + 3y - 27 = 0
