Đáp án:
GTNN của P là 4 đạt đc khi $x = 1$
Lời giải:
Ta có
$P = \dfrac{x + 2\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} + 1}$
$= \dfrac{x + \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} + \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1} + \dfrac{4}{\sqrt{x} + 1}$
$= \sqrt{x} + 1 + \dfrac{4}{\sqrt{x} + 1}$
Áp dụng BĐT Cauchy ta có
$(\sqrt{x} + 1) + \dfrac{4}{\sqrt{x} + 1} \geq 2 \sqrt{(\sqrt{x} + 1) .\dfrac{4}{\sqrt{x} + 1}}$
$<-> P \geq 2 \sqrt{4} = 4$
Dấu "=" xảy ra khi
$\sqrt{x} + 1 = \dfrac{4}{\sqrt{x} + 1}$
$<-> (\sqrt{x} + 1)^2 = 4$
$<-> \sqrt{x} + 1 = 2$
$<-> \sqrt{x} = 1$
$<-> x =1$
Vậy GTNN của P là 4 đạt đc khi $x = 1$.
