Đáp án:
\[\left[ \begin{array}{l}
Δ :\,\,\,\,\,y = \frac{{ - 22}}{9}x + \frac{4}{9}\\
Δ :\,\,\,\,\,y = - 2x
\end{array} \right.\]
Giải thích các bước giải:
Gọi phương trình tổng quát của đường thẳng Δ là \(y = a\,x + b\)
Δ đi qua \(A\left( {1; - 2} \right)\) nên ta có: \(1.a + b = - 2 \Leftrightarrow b = - 2 - a\)
Khoảng cách từ \(B\left( { - 1;1} \right)\) đến Δ: \(a\,x - y + b = 0\) bằng \(\frac{1}{{\sqrt 5 }}\) nên ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{{\left| {a.\left( { - 1} \right) - 1 + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\\
\Leftrightarrow \frac{{\left| { - a - 1 + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\\
\Leftrightarrow \frac{{\left| { - a - 1 - 2 - a} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\\
\Leftrightarrow \sqrt 5 .\left| {2a + 3} \right| = \sqrt {{a^2} + 1} \\
\Leftrightarrow 5.{\left( {2a + 3} \right)^2} = {a^2} + 1\\
\Leftrightarrow 5.\left( {4{a^2} + 12a + 9} \right) = {a^2} + 1\\
\Leftrightarrow 19{a^2} + 60a + 44 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = - \frac{{22}}{9} \Rightarrow b = \frac{4}{9}\\
a = - 2 \Rightarrow b = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
Δ :\,\,\,\,\,y = \frac{{ - 22}}{9}x + \frac{4}{9}\\
Δ :\,\,\,\,\,y = - 2x
\end{array} \right.
\end{array}\)
