giải :
a) 1980 = 2^2 . 3^2 . 5 . 11 , 2100 = 2^2 . 3 . 5 ^2 . 7
UCLN (1980, 2100) = 2^2 . 3.5
BCNN (1980 ,2100) = 2^2.3^2.5^2.7.11 = 69300
b) [ 1980, 2100 ] . ( 1980,2100) = 1980.2100 ( đều bằng 4158000) .
Ta sẽ chứng minh rằng [a,b] . (a,b)= a.b
Trong cách giải này , các thừa số riêng cũng được coi như các thừa số chung , chẳng hặn a chứa thừa số 11 , b không chứa thừa số 11 thì ta coi như b chứa thừa số 11 với số mũ bằng 0 . Với cách viết này , trong ví dụ trên như b chứa thừa số 11 với số mũ bằng 0 . Với cách viết này , trong ví dự trên ta có :
1980 = 2^2 . 3^2.5.7^0.11,
2100 = 2^2 . 2.5.7.11^0
( 1980 , 2100 ) là tích các thừa số chưng với số mũ nhỏ nhất : 2^2 .3.5.7^0 = 60 .
[1980, 2100] là tích các thừa số 11 cới số mũ lớn nhất
2^2 . 3^2.5^2.7.11 = 69300
Bây giờ ta chứng minh trong trường hợp tổng quát :
[a, b]. ( a, b) = a.b
Khi phân tích ra thừa số nguyên tố , các thừa số nguyên tố ở hai vế của (1) chính là các thừa số nguyên tố có trong a và b . Ta sẽ chứng tỏ rằng hai vế chứa các thừa số nguyên tố như nhau với số mũ tương ứng bằng nhau .
Gọi p là thừa số nguyên tố tùy ý trong các thừa số nguyên tố như vậy . Gỉa sử số mũ b trong a là x , số mũ của p trong b là y trong đó x và y có tke bằng 0 . Không mất tính tổng quát , giả sử rằng x ≥ y . Khi dố vế phải của (1) chứa p với số mũ x + y . Còn ở vế trái , [ a,b] chứa p với số mũ x , (a,b) chứa p với số mũ y nên vế trái cũng chứa p với số mũ x +y
