Đáp án:
\[I\left( { - 3;\frac{{11}}{2}} \right)\]
\[N\left( { - 3;0} \right)\]
Giải thích các bước giải:
Gọi \(I\left( {a;b} \right)\) là điểm thỏa mãn hệ thức đã cho.
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {IA} \left( {1 - a;\,\,2 - b} \right)\\
\overrightarrow {IB} \left( {2 - a;\,\, - b} \right)\\
\overrightarrow {IC} \left( { - a;\,\,3 - b} \right)\\
\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IC} = 2\overrightarrow {IB} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {1 - a} \right) - 2\left( {2 - a} \right) + 2.\left( { - a} \right) = 0\\
\left( {2 - b} \right) - 2.\left( { - b} \right) + 3.\left( {3 - b} \right) = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = - 3\\
b = \frac{{11}}{2}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow I\left( { - 3;\frac{{11}}{2}} \right)
\end{array}\)
Lại có:
\(\begin{array}{l}
P = N{A^2} - 2N{B^2} + 3N{C^2}\\
= {\overrightarrow {NA} ^2} - 2{\overrightarrow {NB} ^2} + 3{\overrightarrow {NC} ^2}\\
= {\left( {\overrightarrow {NI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} - 2.{\left( {\overrightarrow {NI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + 3{\left( {\overrightarrow {NI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\\
= N{I^2} + 2\overrightarrow {NI} .\overrightarrow {IA} + I{A^2} - 2.\left( {N{I^2} + 2\overrightarrow {NI} .\overrightarrow {IB} + I{B^2}} \right) + 3\left( {N{I^2} + 2\overrightarrow {NI} .\overrightarrow {IC} + I{C^2}} \right)\\
= 2N{I^2} + 2\overrightarrow {NI} \left( {\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} } \right) + \left( {I{A^2} - 2I{B^2} + 3I{C^2}} \right)\\
= 2N{I^2} + 2\overrightarrow {NI} .\overrightarrow 0 + \left( {I{A^2} - 2I{B^2} + 3I{C^2}} \right)\\
= 2N{I^2} + \left( {I{A^2} - 2I{B^2} + 3I{C^2}} \right)
\end{array}\)
Do I, A, B, C là các điểm cố định nên \(\left( {I{A^2} - 2I{B^2} + 3I{C^2}} \right)\) có giá trị không đổi.
Suy ra P đạt giá trị nhỏ nhất khi \(2N{I^2}\) có giá trị nhỏ nhất. Hay \(NI\) có giá trị nhỏ nhất.
Mặt khác, N là điểm nằm trên trục Ox nên NI nhỏ nhất khi N là hình chiếu vuông góc của I trên trục Ox.
Do đó, \(N\left( { - 3;0} \right)\)
