\(a^3\left(b-c\right)+b^3\left(c-a\right)+c^3\left(a-b\right)\)

\(=a^3b-a^3c+b^3c-b^3a+c^3\left(a-b\right)\)

\(=\left(a^3b-b^3a\right)-\left(a^3c-b^3c\right)+c^3\left(a-b\right)\)

\(=ab\left(a^2-b^2\right)-c\left(a^3-b^3\right)+c^3\left(a-b\right)\)

\(=ab\left(a-b\right)\left(a+b\right)-c\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)+c^3\left(a-b\right)\)

\(=\left(a-b\right)\left[ab\left(a+b\right)-c\left(a^2+ab+b^2\right)+c^3\right]\)

\(=\left(a-b\right)\left(a^2b+ab^2-a^2c-abc-b^2c+c^3\right)\)

\(=\left(a-b\right)\left[\left(a^2b-a^2c\right)+\left(ab^2-abc\right)-\left(b^2c-c^3\right)\right]\)

\(=\left(a-b\right)\left[a^2\left(b-c\right)+ab\left(b-c\right)-c\left(b^2-c^2\right)\right]\)

\(=\left(a-b\right)\left[a^2\left(b-c\right)+ab\left(b-c\right)-c\left(b-c\right)\left(b+c\right)\right]\)

\(=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left[a^2+ab-c\left(b+c\right)\right]\)

\(=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a^2+ab-bc-c^2\right)\)

\(=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left[\left(a-c\right)\left(a+c\right)+b\left(a-c\right)\right]\)

\(=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\left(a+b+c\right)\)