Đáp án:

x=2 

Giải thích các bước giải:

Ta có: $A=4x^3+14x^2+9x-6$

$=(x+2)(4x^2+6x-3)$

Để A là số chính phương thì $x+2=4x^2+6x-3$ (1) hoặc $x+2$ và $4x^2+6x-3$ có dạng chính phương (2)

Giải (1) $\Rightarrow 4x^2+5x-5=0$

$\Delta=5^2+4.4.5=105>0 $

Nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt

$x_1=\dfrac{-5-\sqrt{105}}{2.4}$ (loại) hoặc $x_2=\dfrac{-5+\sqrt{105}}{2.4}$ (loại) (do cả hai đều không là số nguyên dương như yêu cầu của đề)

Giải (2): Ta đặt:

$\left\{\begin{array}{I}x+2=a^2\\4x^2+6x-3=b^2\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{I}x+2=a^2\\4x(x+2)-2(x+2)+1=b^2\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{I}x=a^2-2\\4(a^2-2)a^2-2a^2+1=b^2\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{I}x=a^2-2\\4(a^2-2)a^2-2a^2+1=b^2(3)\end{array}\right.$

(3) $\Rightarrow 4a^4-10a^2+1=b^2$

$\Rightarrow (2a^2)^2-2.2a^2.\dfrac{5}{2}+\dfrac{25}{4}-\dfrac{21}{4}=b^2$

$\Rightarrow(2a^2-\dfrac{5}{2})^2-\dfrac{21}{4}=b^2$

$\Rightarrow (4a^2-5)^2-21=4b^2$

$\Rightarrow (4a^2-5)-4b^2=21$

$\Rightarrow (4a^2-5-2b)(4a^2-5+2b)=1.21=3.7=21.1=7.3$

Với $\left\{\begin{array}{I}4a^2-5-2b=1\\4a^2-5+2b=21\end{array}\right.$

Lấy phương trình dưới trừ phương trình trên ta có: $4b=20\Rightarrow b=5\Rightarrow 4a^4-10a^2+1=25$

Đặt $a^2=t(t>0)\Rightarrow 4t^2-10t-24=0$

$\Rightarrow t=4$ (nhận) hoặc $t=-\dfrac{3}{2}$ (loại)

$\Rightarrow a^2=t=4\Rightarrow x=a^2-2=2 $ (nhận)

Với $\left\{\begin{array}{I}4a^2-5-2b=3\\4a^2-5+2b=7\end{array}\right.$

Lấy phương trình dưới trừ phương trình trên ta có: $4b=4\Rightarrow b=1\Rightarrow 4a^4-10a^2+1=1$

$\Rightarrow 2a^2(2a^2-5)=0$

$\Rightarrow a^2=0\Rightarrow x=a^2-2=-2$ (loại)

Hoặc $2a^2-5=0\Rightarrow a^2=\dfrac{5}{2}\Rightarrow x=\dfrac{5}{2}-2$ (loại)

Tương tự với hai trường hợp còn lại ta cũng ra nghiệm giống như trên.

Vậy x=2 thì A là số chính phương.