Ta có
$VT = \left( \dfrac{a}{b+c} + 1\right) + \left( \dfrac{b}{c+a} + 1 \right) + \left( \dfrac{c}{a+b} + 1 \right) - 3$
$= \dfrac{a+b+c}{b+c} + \dfrac{b+c+a}{c+a} + \dfrac{c+a+b}{a+b} - 3$
$= (a + b + c)\left( \dfrac{1}{b+c} + \dfrac{1}{c+a} + \dfrac{1}{a+b} \right) - 3$
Đặt $x = b + c, y = c+a, z = a + b$. KHi đó
$VT = \dfrac{1}{2} (x+y+z) \left( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} \right) - 3$
Lại có
$x + y + z \geq 3 \sqrt[3]{xyz}$
và
$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} \geq 3 \sqrt{\dfrac{1}{xyz}}$
Do đó
$VT \geq \dfrac{9}{2} - 3 = \dfrac{3}{2}$ (đpcm)
