Đáp án+Giải thích các bước giải:
Vì \(\begin{cases}a,b,c\ge0\\a+b+c=1\\\end{cases}\)
`=>0<=a,b,c<=1`
`=>9<=16a+9,16b+9,16c+9<=25`
Đặt `{(\sqrt{16a+9}=x),(\sqrt{16b+9}=y),(\sqrt{16c+9}=z):}`
`=>` \(\begin{cases}x^2+y^2+z^2=16.(a+b+c)+27=43\\3\le x,y,z\le5\\\end{cases}\)
`=>(x-3)(x-5)<=0`
`<=>x^2-8x+15<=0`
`<=>x^2<=8x-15`
Hoàn toàn tương tự:
`y^2<=8y-15`
`z^2<=8z-15`
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có:
`8(x+y+z)-45>=x^2+y^2+z^2=43`
`<=>8(x+y+z)>=88`
`<=>x+y+z>=11`
Hay `P>=11.`
Dấu "=" xảy ra khi `(a,b,c)=(0,0,1)` và các hoán vị.