Ta có
$f(a) = a_n a^n + a_{n-1} a^{n-1} + \cdots + a_1 a + a_0$
và
$f(b) = a_n b^n + a_{n-1} b^{n-1} + \cdots + a_1 b + a_0$
Khi đó
$f(a) - f(b) = ( a_n a^n + a_{n-1} a^{n-1} + \cdots + a_1 a + a_0) - (a_n b^n + a_{n-1} b^{n-1} + \cdots + a_1 b + a_0)$
$= a_n a^n - a_n b^n + a_{n-1} a^{n-1} - a_{n-1} b^{n-1} + \cdots + a_1 a - a_1 b$
$= a_n(a^n - b^n) + a_{n-1} (a^{n-1} - b^{n-1}) + \cdots + a_1 (a-b)$
$= (a-b)(a_n + a_{n-1} + \cdots + a_1)$
Dễ thấy rằng biểu thức trên chia hết cho $(a-b)$.
b) Theo Câu a), ta có
$P(15) - P(7) \vdots (15-7)$
hay
$9-5 \vdots 8$
nên
$4 \vdots 8$
Điều này là vô lý. Do đó ko tồn tại đa thức đã cho.