a) Để hso đã cho đi qua $A(2, 3)$ thì ta phải có
$3 = (m-2).2 - m + 3$
$<-> 3 = 2m - 4 - m + 3$
$<-> m = 4$
Vậy $m = 4$.
b) Tọa độ giao điểm của $(d)$ vs $Ox$ và $Oy$ lần lượt là $A\left( \dfrac{m-3}{m-2}, 0 \right)$ và $B(0, 3-m)$.
Ta có tam giác $OAB$ vuông tại $O$. Do $(d)$ tiếp xúc vs $(O, \sqrt{2})$ nên áp dụng HTL trong tam giác vuông $OAB$ ta có
$\dfrac{1}{2} = \dfrac{(m-2)^2}{(m-3)^2} + \dfrac{1}{(m-3)^2}$
$<-> 2(m-2)^2 + 2 = (m-3)^2$
$<-> m^2 -2m+1 = 0$
$<-> (m-1)^2 = 0$
$<-> m = 1$
Vậy $m = 1$.