Giải thích các bước giải:
Ta có :
\(\begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} < \frac{1}{z}\left( {1 + \frac{1}{{xy}}} \right) (1)\\ \Leftrightarrow \frac{{x + y}}{{xy}} < \frac{1}{z}.\frac{{xy + 1}}{{xy}} \Leftrightarrow \frac{{(x + y).z}}{{xyz}} < \frac{{xy + 1}}{{xyz}}\end{array}\)
Mà \(xyz > 0\)
\( \Leftrightarrow (x + y)z < xy + 1\) Lại có \(x + y = \frac{5}{3} - z\)
\( \Leftrightarrow \left( {\frac{5}{3} - z} \right)z - 1\, < xy\,\, (*)\)
Xét : \(\) \(\left( {\frac{5}{3} - z} \right)z - 1\)
\(\begin{array}{l} = - {z^2} + \frac{5}{3}z - 1\\ = - \left( {{z^2} + 2.\frac{5}{6}z + \frac{{25}}{{36}}} \right) - \frac{{11}}{{36}}\\ = - {\left( {z + \frac{5}{6}} \right)^2} - \frac{{11}}{{36}} \le \frac{{ - 11}}{{36}}\end{array}\)
Hay \(VP\,\,(*) \le \frac{{ - 11}}{{36}}\,\,\)
Mà \(xy > 0\) nên \(\left( * \right)\) đúng.
Vậy bất đẳng thức \((1)\) đúng.
