Đáp án:
a)$x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$
b) $x = k\dfrac{\pi }{2}\left( {k \in Z} \right)$
Giải thích các bước giải:
a) Ta có:
$\left| {\sin x} \right| + \left| {\cos 2x} \right| = 2(1)$
Mà $\left| {\sin x} \right| \le 1;\left| {\cos 2x} \right| \le 1 \Rightarrow \left| {\sin x} \right| + \left| {\cos 2x} \right| \le 2(2)$
Từ (1),(2) $ \Rightarrow $ Dấu bằng xảy ra
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sin x = \pm 1\\
\cos 2x = \pm 1
\end{array} \right.$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sin x = \pm 1\\
2{\cos ^2}x - 1 = \pm 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sin x = \pm 1\\
\cos x = 0
\end{array} \right.\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x = 1} \right)\\
\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)
\end{array}$
Vậy phương trình có họ nghiệm là: $x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$
b) Ta có:
${\sin ^{12}}x + {\cos ^{16}}x = 1 \Leftrightarrow {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^6} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^8} = 1(1)$
Lại có:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
0 \le {\sin ^2}x \le 1 \Rightarrow 0 \le {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^6} \le {\sin ^2}x\\
0 \le {\cos ^2}x \le 1 \Rightarrow 0 \le {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^8} \le {\cos ^2}x
\end{array} \right.\\
\Rightarrow {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^6} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^8} \le {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\\
\Rightarrow {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^6} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^8} \le 1\left( 2 \right)
\end{array}$
Từ (1),(2) $ \Rightarrow $ Dấu bằng xảy ra:
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{\sin ^2}x = 0\\
{\cos ^2}x = 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
{\sin ^2}x = 1\\
{\cos ^2}x = 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = 0\\
\cos = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k\pi \\
x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow x = k\dfrac{\pi }{2}\left( {k \in Z} \right)
\end{array}$
Vậy phương trình có ho nghiệm là: $x = k\dfrac{\pi }{2}\left( {k \in Z} \right)$
