Cảm ơn Admin đã xem bài của em ạ, em rất tự hào:
`a)`Ta nhận thấy:`x=y=0` là cặp nghiệm của phương trình, trong trường hợp:`x\ne0`, `y\ne0`
Xét trường hợp x,y cùng dấu thì:
`|xy|=xy`
$\left\{\begin{array}{l}17 \mathrm{x}+2 \mathrm{y}=2011\mathrm{xy}(1) \\ \mathrm{x}-2 \mathrm{y}=3 \mathrm{xy}(2).\end{array}\right.$
Cộng `(1)` và `(2)`, ta có:
`⇔18x=2011xy+3xy`
`⇔18x=2014xy`
Do `x\ne0`:
`⇔18=2014y`
`⇔y=18/{2014}=9/{1007}`(nhận)
Thay `y` vào phương trình `(2)`, ta có:
`⇔x-2. 9/{1007}=3x. 9/{1007}`
`⇔x-3x. 9/{1007}= 18/{1007}`
`⇔x({1007}/{1007}-3. 9/{1007})=18/{1007}`
`⇔x(1007-3.9)=18`
`⇔x.980=18`
`⇔x=18/{980}=9/{490}`(nhận)
Xét trường hợp x,y khác dấu thì:
`|xy|=-xy`
Cộng `(1)` và `(2)`, ta có:
`⇔18x=+3xy-2011xy`
`⇔18x=2008xy`
Do `x\ne0`:
`⇔18=2008y`
`⇔y=-18/{2008}=-9/{1004}`(loại vì `xy>0`)
Thay `y` vào phương trình `(2)`, ta có:
`⇔x-2. 9/{1004}=3x. 9/{1004}`
`⇔{1004x}/{1004}-2. 9/{1004}=3x. 9/{1004}`
`⇔1004x+2.9=3x.(-9)`
`⇔1004x+18=-27x`
`⇔1004x+27x=-18`
`⇔1031x=-18`
`⇔x={-18}/{1031}`(loại vì `xy>0`)
Nếu `xy=0` thì phương trình`(1)`tương đương:`x=y=0`(nhận)
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm:`(0;0)` và `(9/{490};9/{1007})`
`b)` Điều kiện:`x≥0,y-z≥0,z-x≥0⇒x≥0;y≥z;z≥x⇒0≤x≤z≤y`
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:
`1.\sqrt{x}≤((\sqrt{x})^2+1^2)/2=(x+1)/2`
`1.\sqrt{y-z}≤((\sqrt{y-z})^2+1^2)/2=(y-z+1)/2`
`1.\sqrt{z-x}≤((\sqrt{z-x})^2+1^2)/2=(z-x+1)/2`
Đặt `\sqrt{x}+\sqrt{y-z}+\sqrt{z-x}` là vế trái
Vế trái:`(x+1)/2+(y-z+1)/2+(z-x+1)/2`
`=(x+1+y-z+1+z-x+1)/2`
`=(y+3)/2`
`=1/2(y+3)`
`⇒` Vế trái bằng vế phải
$\begin{cases} \sqrt{x}=1\\\sqrt{y-z}=1\\\sqrt{z-x}=1\end{cases}$
`⇔`$\begin{cases} x=1\\y-z=1\\z-x=1\end{cases}$
`⇔`$\begin{cases} x=1\\y-z=1\\z-1=1\end{cases}$
`⇔`$\begin{cases} x=1\\y-z=1\\z=2\end{cases}$
`⇔`$\begin{cases} x=1\\y-2=1\\z=2\end{cases}$
`⇔`$\begin{cases} x=1\text{(thỏa mãn điều kiện)}\\y=3\text{(thỏa mãn điều kiện)}\\z=2\text{(thỏa mãn điều kiện)}\end{cases}$
Vậy nghiệm của `(;y;z)=(1;3;2).`
