$y = -x^3 + 3x^2$
$+) \quad TXĐ: D = \Bbb R$
$+) \quad \mathop{\lim}\limits_{x \to \pm \infty}y = \mp \infty$
- Hàm số không có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang
$+) \quad y' = -3x^2 + 6x$
$y' = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array}\right.$
$+) \quad \text{Bảng biến thiên:}$
$\begin{array}{|l|cr|}
\hline
x & -\infty & & 0 & & && 2 & && +\infty\\
\hline
y' & & - & 0& & + & & 0& &- &\\
\hline
&+\infty&&&&&&4\\
y & &\searrow& && \nearrow& &&&\searrow\\
&&&0&&&&&&&-\infty\\
\hline
\end{array}$
- Hàm số đồng biến trên $(0;2)$
- Hàm số nghịch biến trên $(-\infty;0)$ và $(2;+\infty)$
- Hàm số đạt cực đại tại $x = 2; \, y_{CĐ} = 4$
- Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0;\, y_{CT} = 0$
$+) \quad y'' = -6x + 6$
$y'' = 0 \Leftrightarrow x = 1$
- Đồ thị hàm số có điểm uốn $U(1;2)$
$+) \quad \text{Đồ thị:}$
Ta có bảng giá trị:
$\begin{array}{|l|cr|}
\hline
x & -1&0&1&2&3\\
\hline
y&4&0&2&4&0\\
\hline
\end{array}$
- Đồ thị cắt $Ox$ tại $(0;0),(3;0)$
- Đồ thị cắt $Oy$ tại $(0;0)$
$+) \quad \text{Kết luận:}$
Đồ thị hàm số nhận điểm uốn $U(1;2)$ làm tâm đối xứng
b) $-x^3 + 3x^2 =2m + 1 \qquad (*)$
$(*)$ là phương trình hoành độ giao điểm giữa đồ thị hàm số $(C)$ đã cho và đường thẳng $(d): y = 2m + 1$
Số nghiệm của $(*)$ là số giao điểm giữa $(C)$ và $(d)$
Dựa vào đồ thị hàm số vừa tìm, ta có:
+) $(d)$ cắt $(C)$ tại $1$ điểm $\Leftrightarrow (*)$ có nghiệm duy nhất
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}2m + 1 > 4\\2m + 1 < 0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m > \dfrac32\\m < -\dfrac12\end{array}\right.$
+) $(d)$ cắt $(C)$ tại $2$ điểm $\Leftrightarrow (*)$ có $2$ nghiệm
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}2m + 1 = 4\\2m + 1 = 0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m = \dfrac32\\m = -\dfrac12\end{array}\right.$
+) $(d)$ cắt $(C)$ tại $3$ điểm $\Leftrightarrow (*)$ có $3$ nghiệm
$\Leftrightarrow 0 < 2m + 1 < 4$
$\Leftrightarrow -\dfrac12 < m < \dfrac32$
