Đáp án:

\(\begin{array}{l}
a)A = {\left( {2x - 1} \right)^2} - 8\\
Min =  - 8\\
B = {\left( {x - 3} \right)^4} + 1\\
Min = 1\\
C = \left| {x - 3} \right| - 13\\
Min =  - 13\\
b)E = 1 - {\left( {x + 2} \right)^2}\\
Max = 1\\
F =  - 3 - \left| {3x + 2} \right|\\
Max =  - 3\\
G = \dfrac{{3{x^2} + 7}}{{{x^2} + 1}}\\
Max = 7
\end{array}\)

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
a)A = {\left( {2x - 1} \right)^2} - 8\\
Do:{\left( {2x - 1} \right)^2} \ge 0\forall x\\
 \to {\left( {2x - 1} \right)^2} - 8 \ge  - 8\\
 \to Min =  - 8\\
 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\\
B = {\left( {x - 3} \right)^4} + 1\\
Do:{\left( {x - 3} \right)^4} \ge 0\forall x\\
 \to {\left( {x - 3} \right)^4} + 1 \ge 1\\
 \to Min = 1\\
 \Leftrightarrow x = 3\\
C = \left| {x - 3} \right| - 13\\
Do:\left| {x - 3} \right| \ge 0\forall x\\
 \to \left| {x - 3} \right| - 13 \ge  - 13\\
 \to Min =  - 13\\
b)E = 1 - {\left( {x + 2} \right)^2}\\
Do:{\left( {x + 2} \right)^2} \ge 0\forall x\\
 \to  - {\left( {x + 2} \right)^2} \le 0\\
 \to 1 - {\left( {x + 2} \right)^2} \le 1\\
 \to Max = 1\\
 \Leftrightarrow x =  - 2\\
F =  - 3 - \left| {3x + 2} \right|\\
Do:\left| {3x + 2} \right| \ge 0\forall x\\
 \to  - \left| {3x + 2} \right| \le 0\\
 \to  - 3 - \left| {3x + 2} \right| \le  - 3\\
 \to Max =  - 3\\
G = \dfrac{{3{x^2} + 7}}{{{x^2} + 1}} = \dfrac{{3\left( {{x^2} + 1} \right) + 4}}{{{x^2} + 1}}\\
 = 3 + \dfrac{4}{{{x^2} + 1}}\\
Do:{x^2} \ge 0\forall x\\
 \to {x^2} + 1 \ge 1\\
 \to \dfrac{4}{{{x^2} + 1}} \le 4\\
 \to 3 + \dfrac{4}{{{x^2} + 1}} \le 7\\
 \to Max = 7\\
 \Leftrightarrow x = 0\\
c)A = \dfrac{{2x - 3}}{{x + 2}} = \dfrac{{2\left( {x + 2} \right) - 7}}{{x + 2}}\\
 = 2 - \dfrac{7}{{x + 2}}\\
A \in Z \to \dfrac{7}{{x + 2}} \in Z\\
 \to x + 2 \in U\left( 7 \right)\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
x + 2 = 7\\
x + 2 =  - 7\\
x + 2 = 1\\
x + 2 =  - 1
\end{array} \right.\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
x = 5\\
x =  - 9\\
x =  - 1\\
x =  - 3
\end{array} \right.\\
B = \dfrac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} + 2}} = \dfrac{{{x^2} + 2 - 6}}{{{x^2} + 2}}\\
 = 1 - \dfrac{6}{{{x^2} + 2}}\\
B \in Z \to \dfrac{6}{{{x^2} + 2}} \in Z\\
 \to {x^2} + 2 \in U\left( 6 \right)\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
{x^2} + 2 = 6\\
{x^2} + 2 =  - 6\left( l \right)\\
{x^2} + 2 = 3\\
{x^2} + 2 =  - 3\left( l \right)\\
{x^2} + 2 = 2\\
{x^2} + 2 =  - 2\left( l \right)\\
{x^2} + 2 = 1\left( l \right)\\
{x^2} + 2 =  - 1\left( l \right)
\end{array} \right. \to \left[ \begin{array}{l}
{x^2} = 4\\
{x^2} = 1\\
{x^2} = 0
\end{array} \right.\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x =  - 2\\
x = 1\\
x =  - 1\\
x = 0
\end{array} \right.
\end{array}\)

A, Tìm giá trị nhỏ nhất .

a) $A=(2x-1)²-8$

Do $(2x-1)²≥0$ với mọi $x∈R$

⇒ $(2x-1)²-8 ≥ -8$ với mọi $x∈R$

⇒ GTNN của A $= -8$ ⇔ $(2x-1)²=0$

                                     ⇔ $2x-1=0$

                                     ⇔$2x=1$

                                     ⇔$ x= \frac{1}{2}$

Với $ x= \frac{1}{2}$ thì GTNN của A $= -8$

b)$B=(x-3)^{4}+1$

Do $(x-3)^{4}≥0$ với mọi $x∈R$

⇒ $(x-3)^{4}+1 ≥ 1$ với mọi $x∈R$

⇒ GTNN của B $= 1$ ⇔ $(x-3)^{4}=0$

                                     ⇔ $x-3=0$

                                     ⇔$ x=3$

Với $ x=3$ thì GTNN của B $= 1$

c)$B=|x-3|-13$

Do $|x-3|≥0$ với mọi $x∈R$

⇒ $|x-3|-13 ≥ 1$ với mọi $x∈R$

⇒ GTNN của C $= -13$ ⇔ $|x-3|=0$

                                     ⇔ $x-3=0$

                                     ⇔$ x=3$

Với $ x=3$ thì GTNN của C $=-13$

B,Tìm giá trị lớn nhất

a)$E=1-(x+2)²$

Do $(x+2)²|≥0$ với mọi $x∈R$

⇒ $1-(x+2)² ≤ 1$ với mọi $x∈R$

⇒ GTLN của E $= 1$ ⇔ $(x+2)²=0$

                                     ⇔ $x+2=0$

                                     ⇔$ x=-2$

Với $ x=-2$ thì GTLN của E $=1$

b)$F=-3-|3x+2|$

Do $|3x+2|≥0$ với mọi $x∈R$

⇒ $-3-|3x+2| ≤-3 $ với mọi $x∈R$

⇒ GTLN của F $= =-3$ ⇔ $|3x+2|=0$

                                     ⇔ $3x+2=0$

                                     ⇔$ 3x=-2$

                                     ⇔$ x= \frac{-2}{3}$

Với $ x= \frac{-2}{3}$ thì GTLN của F $=-3$

c)$G=\frac{3x²+7}{x²+1}=\frac{3(x²+1)+4}{x²+1}=3+\frac{4}{x²+1}$

Để $G=3+\frac{4}{x²+1}$ lớn nhất 

⇒ $\frac{4}{x²+1}$ lớn nhất

⇔$x²+1=1$

⇔$x²=0$

⇔$x=0$

Với $x=0$ thì GTLN của $G=3+\frac{4}{0+1}=3+\frac{4}{1}=3+4=7$

C,Tìm x nguyên

a)Ta có : $\frac{2x-3}{x+2}=\frac{2(x+2)-7}{x+2}=2-\frac{7}{x+2}$

Để  $\frac{2x-3}{x+2}$ nguyên

⇒$ 2-\frac{7}{x+2}$ nguyên

⇒$\frac{7}{x+2}$ nguyên

⇒ 7  chia hết cho $x+2$

⇒$x+2$∈Ư(7)={$-1;1;-7;7$}

⇒$x$∈{$-3 ; -1;-9;5$}

Với $x$∈{$-3 ; -1;-9;5$} thì$\frac{2x-3}{x+2}$ nguyên

b)Ta có : $\frac{x²-4}{x²+2}=\frac{(x²+2)-6}{x²+2}=1-\frac{6}{x²+2}$

Để  $\frac{x²+2}{x²+2}$ nguyên

⇒$ 1-\frac{6}{x²+2}$ nguyên

⇒$\frac{6}{x²+2}$ nguyên

⇒ 6 chia hết cho $x²+2$

⇒$x²+2$∈Ư(6)={$-1;1;-2;2;-3;3;-6;6$}

Do $x²$≥0$ với mọi $x∈R$

   nên $x²+2≥2$ với mọi $x∈R$

⇒$x²+2$∈{$2;3;6$}

Th1 : $x²+2=2$

    ⇒$x²=0$

    ⇒$x=0$

Th2 : $x²+2=3$

    ⇒ $x²=1$

    ⇒\(\left[ \begin{array}{l}x=1\\x=-1\end{array} \right.\) 

Th3 : $x²+2=6$

    ⇒ $x²=4$

    ⇒\(\left[ \begin{array}{l}x=2\\x=-2\end{array} \right.\) 

Với $x$∈{$0;-1;1;-2;2$} thì $\frac{x²-4}{x²+2}$ nguyên