`a.`
Ta có:
$\frac{2n^2 - n + 2}{2n+1}$ `=` $\frac{2n^2+n-2n-1+3}{2n+1}$
`=` $\frac{n.(2n+1)-(2n+1)+3}{2n+1}$
`=` $\frac{(n-1)(2n+1)+3}{2n+1}$
`= n-1 +` $\frac{3}{2n+1}$
`2n^2 – n + 2` chia hết cho `2n + 1`
`<=>` $\frac{2n^2-n+2}{2n+1}$ `∈ Z`
`<=> n-1 +` $\frac{3}{2n+1}$ `∈ Z`
`<=>` $\frac{3}{2n+1}$ `∈ Z`
`<=> 2n + 1 ∈ Ư(3) = {±1; ± 3}.`
`+) 2n + 1 = 1 ⇔ 2n = 0 ⇔ n = 0`
`+) 2n + 1 = -1 ⇔ 2n = -2 ⇔ n = -1`
`+) 2n + 1 = 3 ⇔ 2n = 2 ⇔ n = 1`
`+) 2n + 1 = -3 ⇔ 2n = -4 ⇔ n = -2.`
Vậy `n ∈ {-2; -1; 0; 1.}`
`b.`
Gọi thương của phép chia `( x^ 3 − 3 x ^2 + 5x + a ) ÷ ( x − 2 ) là Q(x)`
Theo bài ra ta có: `( x ^3 − 3 x^ 2 + 5x + a ) = ( x − 2 ) × Q ( x ) ( ∗ )`
Vì đẳng thức trên xảy ra với mọi x x nên ta chọn `x = 2` thay vào `(∗)` ta có:
`2^ 3 − 3 × 2^ 2 + 5 × 2 + a = ( 2 − 2 ) ×` $Q_{2}$
`⇒ 8-12+10+a=0`
`⇒ 6 + a = 0`
`⇒ a = − 6`
Vậy `a = − 6` để `( x^ 3 − 3 x^ 2 + 5x + a ) ⋮ ( x − 2 )`
