Giải thích các bước giải:
a,
\(p + 1;\,\,p + 2;\,\,p + 3\) là các số tự nhiên liên tiếp
Trong 3 số tự nhiên liên tiếp luôn tồn tại ít nhất 1 số chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 nên để 3 số đó đều là số nguyên tố thì có 1 số bằng 2.
3 số tự nhiên liên tiếp có 1 số bằng 2 là \(1;2;3\) hoặc \(\left( {2;3;4} \right)\)
Cả 2 bộ số trên đều không thỏa mãn vì 1 và 4 không là số nguyên tố.
Do đó không có số tự nhiên p nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.
b,
TH1: \(p = 3 \Rightarrow p + 10 = 13;\,\,\,p + 14 = 17\)
Suy ra \(p + 10;\,\,\,\,p + 14\) đều là các số nguyên tố.
Suy ra \(p = 3\) thỏa mãn.
TH2: \(p \ne 3\)
p là số nguyên tố nên p có 1 trong 2 dạng \(3k + 1;\,\,\,\,3k + 2\,\,\,\,\left( {k \in N} \right)\)
\(\begin{array}{l}
p + 10 > 3;\,\,\,\,p + 14 > 3\\
*)\,\,\,\,p = 3k + 1 \Rightarrow p + 14 = \left( {3k + 1} \right) + 14 = 3k + 15 = 3.\left( {k + 5} \right)\,\, \vdots \,\,3\\
*)\,\,\,\,p = 3k + 2 \Rightarrow p + 10 = \left( {3k + 2} \right) + 10 = 3k + 12 = 3.\left( {k + 4} \right)\,\, \vdots \,\,3
\end{array}\)
Suy ra \(p + 10;\,\,\,\,p + 14\) đều không phải là các số nguyên tố.
Vậy \(p = 3\)
