Đáp án:
\[3m + 3n = - 1\]
Giải thích các bước giải:
ĐKXĐ: \(\left[ \begin{array}{l}
x \ge - \frac{2}{3}\\
x \le - 1
\end{array} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\sqrt {3{x^2} + 5x + 7} - \sqrt {3{x^2} + 5x + 2} > 1\\
\Leftrightarrow \frac{{\left( {3{x^2} + 5x + 7} \right) - \left( {3{x^2} + 5x + 2} \right)}}{{\sqrt {3{x^2} + 5x + 7} + \sqrt {3{x^2} + 5x + 2} }} > 1\\
\Leftrightarrow \frac{5}{{\sqrt {3{x^2} + 5x + 7} + \sqrt {3{x^2} + 5x + 2} }} > 1\\
\Leftrightarrow \sqrt {3{x^2} + 5x + 7} + \sqrt {3{x^2} + 5x + 2} < 5\\
\Leftrightarrow \sqrt {3{x^2} + 5x + 7} < 5 - \sqrt {3{x^2} + 5x + 2} \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {3{x^2} + 5x + 7} < 5\\
3{x^2} + 5x + 7 < 25 - 10\sqrt {3{x^2} + 5x + 2} + 3{x^2} + 5x + 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3{x^2} + 5x + 7 < 25\\
20 - 10\sqrt {3{x^2} + 5x + 2} > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3{x^2} + 5x - 18 < 0\\
\sqrt {3{x^2} + 5x + 2} < 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3{x^2} + 5x - 18 < 0\\
3{x^2} + 5x - 2 < 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{ - 5 - \sqrt {241} }}{6} < x < \frac{{ - 5 + \sqrt {241} }}{6}\\
- 2 < x < \frac{1}{3}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow - 2 < x < \frac{1}{3}
\end{array}\)
Kết hợp ĐKXĐ, ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S = \left( { - 2; - 1} \right] \cup \left[ { - \frac{2}{3};\frac{1}{3}} \right)\)
Vậy \(3m + 3n = - 1\)
