Sai ở chỗ
$\sqrt{x}-1 \geq -1$ suy ra $\dfrac{1}{\sqrt{x}-1} \leq -1$
Việc $a \geq b$ suy ra $\dfrac{1}{a} \leq \dfrac{1}{b}$ xảy ra khi và chỉ khi $a$ và $b$ đều là các số dương, trong khi đây có số -1.
Do đó $x > 1$.
Giả sử rằng max của biểu thức đã cho bằng $a$, và đạt max tại $x_0> 1$, tức là
$1 + \dfrac{1}{\sqrt{x_0}-1} = a$
Khi đó, chọn $u = \dfrac{x_0 + 1}{2}$, dễ thấy rằng $\dfrac{x_0+1}{2} < x_0$ với $x_0 > 1$ và lại có
$\sqrt{\dfrac{x_0+1}{2}} < \sqrt{x_0}$
$<-> \dfrac{1}{\sqrt{\frac{x_0+1}{2}}-1} > \dfrac{1}{\sqrt{x_0} -1}$ (do cả hai đại lượng trên đều lớn hơn 0)
$<-> 1 + \dfrac{1}{\sqrt{\frac{x_0+1}{2}}-1} > 1 + \dfrac{1}{\sqrt{x_0} -1}$
$<-> 1 + \dfrac{1}{\sqrt{\frac{x_0+1}{2}}-1} >a$
Điều này là vô lý do $a$ là giá trị lớn nhất.
Vậy biểu thức đã cho ko có max.
