Đáp án:

$a)$ $-3≤x≤1$

$b)$ $x=4$

$c)$ $x={-3;-2;-1;...3;4;5}$

Lời giải:

$a)$

$|x - 1| + |x + 3| = 4$

Ta có: $x - 1 = 0 ⇒ x = 1$

          $x + 3 = 0 ⇒ x = - 3$

Ta có bảng:

                             |     `- 3`          |                     |         `1`          |              

`x - 1`  |      `-`        |       `-`           |        `-`         |         `0`          |        `+` 

`x + 3` |      `-`        |        `0`         |        `+`         |         `+`         |        `+`

$*$ Với $x  < - 3$ thì: 

$- x + 1 - x - 3 = 4$

$- 2x - 2 = 4$

$- 2x = 4 + 2 = 6$

$x = 6$ $:$ $( - 2 )$

$x=-3$ (loại)

$*$ Với $x=-3$

|-4|=4 đúng 

x = - 3 (thỏa mãn)

$*$ Với `- 3 < x < 1` thì:

`- x + 1 + x + 3 =4`

`4 = 4` (thỏa mãn) 

$*$ Với `x=1`

`|1+4|=4` đúng

`x = 1` (thỏa mãn)

$*$ Với `x > 1` thì:

`x - 1 + x + 3 = 4`

`2x + 2 = 4`

`2x = 4 - 2 = 2`

`x = 2` $:$ `2`

`x=1` (loại) 

Vậy $- 3 ≤ x ≤ 1$

`b)`

$| x + 3 | + | x + 1 | = 3x$

Ta có: $x + 3 = 0 ⇒ x = - 3$

           $x + 1 = 0 ⇒ x = - 1$

Ta có bảng:

                              |     `- 3`          |                      |        `- 1`          |              

`x + 3` |      `-`         |       `0`          |        `+`          |         `2`           |        `+`

`x + 1` |      `-`         |        `-`          |        `-`          |          `0`          |      `+`

$*$ Với $x < - 3$ thì: 

$- x - 3 - x - 1 = 3x$

`- 2x - 4 = 3x`

`- 2x - 3x = 4`

`- 5x = 4`

$x = \dfrac{-4}{5}$ (Loại)

$*$ Với `x=-3`

`|-3+1|=3.(-3)` (vô lý)

$*$ Với `- 3 < x < - 1` thì:

`x + 3 - x - 1 = 3x`

`2 = 3x`

$x = \dfrac{2}{3}$ (Loại)

$*$ Với `x=-1`

`|-1+3|=3.(-1)` (vô lý)

$*$ Với `x > - 1` thì:

`x + 3 + x + 1 = 3x`

`2x + 4 = 3x`

`3x - 2x = 4`

`x = 4` (thỏa mãn) 

Vậy `x = 4`

`c)` `|x-1|≤4`

`-4≤x-1≤4`

`-3≤x≤5`

$x={-3;-2;-1;...3;4;5}$

Đáp án:

a, `-3 <= x <= 1`

b, `x = 4`

c, `-3 <= x <= 5`

Trình bày các bước giải:

a, Ta có: `|x - 1| + |x + 3|`

`= |x - 1| + |-x - 3|` 

`≥ |x - 1 - x - 3| = |-4| = 4`

Dấu "=" xảy ra `⇔ (x - 1)(-x - 3) ≥ 0`

`⇔ (x - 1)(x + 3) ≤ 0`

`⇔ x - 1` và `x + 3` trái dấu.

Mà `x - 1 < x + 3`

`-> {(x - 1 <= 0),(x + 3 >= 0):}`

`->` $\begin{cases} x ≤ 1\\x ≥ -3 \end{cases}$

`-> -3 <= x <= 1`

Vậy với `x` thỏa mãn `-3 <= x <= 1` thì `|x - 1| + |x + 3| = 4`

b, Vì `|x + 3| >= 0; |x + 1| >= 0`

`-> |x + 3| + |x + 1| >= 0`

`-> 3x >= 0`

`-> x >= 0`

Khi đó, `|x + 3| = x + 3`; `|x + 1| = x + 1`

`-> x + 3 + x + 1 = 3x`

`-> 2x + 4 = 3x`

`-> x = 4`

Vậy với `x = 4` thì `|x + 3| + |x + 1| = 3x`

c, `|x - 1| <= 4`

`-> -4 <= x - 1 <= 4`

`-> -3 <= x <= 5`

Vậy với `-3 <= x <= 5` thì `|x - 1| <= 4`

Giải thích công thức:

`|a| = |-a|`;

`|A| + |B| >= |A  + B|`;

`|f(x)| <= k -> -k <= f(x) <= k`