Đáp án:
\[AB = 2 + 2\sqrt 3 ;\,\,\,\,\,AC = 4;\,\,\,\,BC = 2\sqrt 6 \]
Giải thích các bước giải:
Tổng 3 góc trong một tam giác bằng 180 độ nên ta có:
\(\begin{array}{l}
\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \\
\Leftrightarrow \widehat {BAC} + 45^\circ + 75^\circ = 180^\circ \\
\Leftrightarrow \widehat {BAC} = 60^\circ
\end{array}\)
AD là phân giác trong của góc A nên ta có: \(\widehat {BAD} = \widehat {DAC} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ \)
\(\begin{array}{l}
\widehat {ADB} = 180^\circ - \widehat {ABD} - \widehat {BAD} = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ \\
\widehat {ADC} = 180^\circ - \widehat {ADB} = 75^\circ
\end{array}\)
Áp dụng công thức \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\) ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{{AD}}{{\sin B}} = \frac{{BD}}{{\sin BAD}} = \frac{{AB}}{{\sin ADB}}\\
\Leftrightarrow \frac{4}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{BD}}{{\sin 30^\circ }} = \frac{{AB}}{{\sin 105^\circ }}\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
BD = \frac{{4.\sin 30^\circ }}{{\sin 45^\circ }} = 2\sqrt 2 \\
AB = \frac{{4.\sin 105^\circ }}{{\sin 45^\circ }} = 2 + 2\sqrt 3
\end{array} \right.\\
\frac{{AD}}{{\sin C}} = \frac{{DC}}{{\sin DAC}} = \frac{{AC}}{{\sin ADC}}\\
\Leftrightarrow \frac{4}{{\sin 75^\circ }} = \frac{{DC}}{{\sin 30^\circ }} = \frac{{AC}}{{\sin 75^\circ }}\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
DC = \frac{{4.\sin 30^\circ }}{{\sin 75^\circ }} = 2\sqrt 6 - 2\sqrt 2 \\
AC = 4
\end{array} \right.\\
\Rightarrow BC = BD + DC = 2\sqrt 6
\end{array}\)
Vậy \(AB = 2 + 2\sqrt 3 ;\,\,\,\,\,AC = 4;\,\,\,\,BC = 2\sqrt 6 \)
