Đáp án:
$\min P = -\dfrac{25}{9}$
Giải thích các bước giải:
$y = x^3 + ax^2 + bx + c$
$\to y' = 3x^2 + 2ax + b$
Thực hiện phép chia đa thức $y$ cho $y'$ ta được:
$y = y'.\left(\dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{9}a\right) + \left(\dfrac{2b}{3} -\dfrac{2a^2}{9}\right).x + c -\dfrac{ab}{9}$
$\to y = \left(\dfrac{2b}{3} -\dfrac{2a^2}{9}\right).x + c-\dfrac{ab}{9}$ là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị $A,B$
Ta có: $O\in AB$
$\to c= \dfrac{ab}{9}$
$\to ab = 9c$
Ta được:
$P = abc + ab + c$
$\to P = 9c^2 + 9c + c$
$\to P = 9c^2 + 10c$
$\to P = \left(3c + \dfrac{5}{3}\right)^2 - \dfrac{25}{9}$
$\to P \geq -\dfrac{25}{9}$
Vậy $\min P = -\dfrac{25}{9}$
