Câu 2:
Gọi chiều dài của hình chữ nhật là $x\ (m)\ (2<x<300)$
Chiều rộng của hình chữ nhật là $y\ (m)\ (0<y<300)$
$(x>y)$
`=>xy=300\ (1)`
Vì nếu giảm chiều dài đi $2\ m$ và tăng chiều rộng lên $3\ m$ thì hình chữ nhật trở thành hình vuông
`=>x-2=y+3` hay `x=y+5\ (2)`
Từ `(1)` và `(2)` ta có hệ: $\begin{cases}x=y+5\\xy=300\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}x=y+5\\y(y+5)=300\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}x=y+5\\y^2+5y-300=0\ (*)\end{cases}$
Giải $(*):\ y^2+5y-300=0$
`\Delta =5^2-4.(-300)=1225;\ \sqrt{\Delta}=35`
`=>`$\begin{cases}y_1=\dfrac{-5-35}{2}=-20\ (KTM)\\y_2=\dfrac{-5+35}{2}=15\ (TM)\end{cases}$
Với `y=15=>x=20\ (TM)`
Vậy chiều dài của hình chữ nhật là `20\ m`, chiều rộng là `15\ m`
Câu 3:
a, Thay `n=0` vào phương trình, ta có:
`x^2-(2.0-1)x+0^2-1=0`
`<=>x^2+x-1=0`
`Delta=1^2-4.(-1)=5;\ \sqrt{Delta}=\sqrt5`
`=>`$\begin{cases}x_1=\dfrac{-1+\sqrt5}2\\x_2=\dfrac{-1-\sqrt5}2\end{cases}$
Thay `n=-2` vào phương trình, ta có:
`x^2-[2.(-2)-1]x+(-2)^2-1=0`
`<=>x^2+5x+3=0`
`Delta=5^2-4.3=13;\ \sqrt{Delta}=\sqrt{13}`
`=>`$\begin{cases}x_1=\dfrac{-5+\sqrt{13}}{2}\\x_2=\dfrac{-5-\sqrt{13}}2\end{cases}$
b, Ta có:
`Delta=[-(2n-1)]^2-4(n^2-1)=4n^2-4n+1-4m^2+4=-4n+5`
Phương trình có hai nghiệm phân biệt `<=>Delta>0`
`<=>-4n+5>0`
`<=>-4n> -5`
`<=>n<5/4`
Áp dụng định lý Vi-ét, ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=2n-1\ (1)\\x_1x_2=n^2-1\ (2)\end{cases}$
Theo giả thiết:
`(x_1-x_2)^2=x_1-3x_2`
`<=>(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=x_1-3x_2`
`<=>x_1-3x_2=(2n-1)^2-4(n^2-1)`
`<=>x_1-3x_2=4n^2-4n+1-4n^2+4`
`<=>x_1-3x_2=-4n+5\ (3)`
Từ `(1)` và `(3)` ta có hệ: $\begin{cases}x_1+x_2=2n-1\\x_1-3x_2=-4n+5\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}3x_1+3x_2=6n-3\\x_1-3x_2=-4n+5\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}4x_1=2n+2\\x_2=2n-1-x_1\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}x_1=\dfrac{n+1}2\\x_2=\dfrac{3n-3}2\end{cases}$
Thay vào `(2)`, ta có:
`{n+1}/2.{3n-3}/2=n^2-1`
`<=>{(n+1)(3n-3)}/4=n^2-1`
`<=>3n^2-3n+3n-3=4n^2-4`
`<=>n^2=1`
`<=>n=\pm 1\ (TM)`
Vậy `n= \pm 1` là giá trị cần tìm.
Câu 4:
a, Xét `\Delta ABK` và `Delta AFB`, ta có:
$\begin{cases}\widehat{BAF}:\ \rm{chung}\\\widehat{AKB}=\widehat{ABF}\ (=90^o)\end{cases}$
$\Rightarrow \Delta ABK \sim \Delta AFB\ (g-g)$
$\Rightarrow \widehat{ABK}=\widehat{AFB}$ hay $\widehat{ABK}=\widehat{KFB}$
b, Ta có:
`\hat{BHK}=\hat{KBF}` (cùng chắn `\stackrel\frown{BK}`)
Lại có: `\hat{KBF}+\hat{KFB}=90^o`
`=>\hat{BHK}+\hat{KFB}=90^o`
`=>\hat{AHB}+\hat{BHK}+\hat{KFB}=90^o +90^o=180^o`
`=>\hat{AHK}+\hat{KFB}=180^o`
Mặt khác: $\begin{cases}\widehat{AHK}+\widehat{KHE}=180^o\\\widehat{KFB}+\widehat{KFE}=180^o\end{cases}$
`=>\hat{AHK}+\hat{KHE}+\hat{KFB}+\hat{KFE}=360^o`
`=>\hat{KHE}+\hat{KFE}+180^o=360^o`
`=>\hat{KHE}+\hat{KFE}=180^o`
`=>` Tứ giác `HEFK` nội tiếp
c, Xét `Delta AHB` và `Delta ABE`, ta có:
$\begin{cases}\widehat{BAE}:\ \rm{chung}\\\widehat{AHB}=\widehat{ABE}\ (=90^o)\end{cases}$
$\Rightarrow \Delta AHB \sim \Delta ABE\ (g-g)$
$\Rightarrow \dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AB}{AE}$
$\Rightarrow AH.AE=AB^2=(2R)^2=4R^2$
$\Rightarrow$ Tích $AH.AE$ không đổi
