Đáp án: a) $\widehat A\approx 51,{78^o}$; $BC: 3x+2y-14=0$

b) $H(4;1)$; c)$M(\dfrac{{ - 7}}{2};\dfrac{{ - 3}}{2})$

 Giải thích các bước giải:

a) Ta có: $A(-1;1),B(2;4),C(3;1)$

+)$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
AB = \sqrt {{{\left( {2 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( {4 - 1} \right)}^2}}  = 3\sqrt 2 \\
AC = \sqrt {{{\left( {3 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2}}  = 4\\
BC = \sqrt {{{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 4} \right)}^2}}  = \sqrt {13} 
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \cos A = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}} = \dfrac{{{{\left( {3\sqrt 2 } \right)}^2} + {4^2} - {{\left( {\sqrt {13} } \right)}^2}}}{{2.3\sqrt 2 .4}} = \dfrac{{7\sqrt 2 }}{{16}}\\
 \Rightarrow \widehat A = {\mathop{\rm arc}\nolimits} c{\rm{os}}\left( {\dfrac{{7\sqrt 2 }}{{16}}} \right) \approx 51,{78^o}
\end{array}$

+) $\vec{BC}=(2;-3)\to \vec{n}_{BC}=(3;2)$

$\to BC: 3(x-2)+2(y-4)=0$ hay $BC: 3x+2y-14=0$

b) $AH$ nhận $\vec{BC}=(2;-3)$ làm pháp tuyến

$AH: 2(x+1)-3(y-1)=0$ hay $AH: 2x-3y+5=0$

Do $H\in AH; H\in BC$ suy ra tọa độ của $H$ thỏa mãn hệ:

$\left\{ \begin{array}{l}
2x - 3y + 5 = 0\\
3x + 2y - 14 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 4\\
y = 1
\end{array} \right.$

$\to H(4;1)$

c) Gọi $D$ là trung điểm $BC$

$\vec{AB}=(3;3)\to \vec{n}_{AB}=(1;-1)$$\to AB: 1(x+1)-1(y-1)=0$ hay $AB: x-y+2=0$

$\Delta MBC$ cân tại $M$ $\to MD\perp BC=D$ $MD$ nhận $\vec{BC}$ làm pháp tuyến.

Có $D\left( {\dfrac{5}{2};\dfrac{5}{2}} \right)$

$MD: 2(x-\dfrac{5}{2})-3(y-\dfrac{5}{2})=0$ hay $MD: 2x-3y+\dfrac{5}{2}=0$

Do $M\in MD; M\in AB$ nên tọa độ $M$ thỏa mãn hệ:

$\left\{ \begin{array}{l}
2x - 3y + \dfrac{5}{2} = 0\\
x - y + 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{ - 7}}{2}\\
y = \dfrac{{ - 3}}{2}
\end{array} \right.$

Vậy $M(\dfrac{{ - 7}}{2};\dfrac{{ - 3}}{2})$