$(O)$ và $(O')$ tiếp xúc ngoài tại $A$
$\Rightarrow A\in OO'$
a) Ta có:
$OD//O'E\quad (\perp DE)$
$\Rightarrow \widehat{AOD} + \widehat{AOE} = 180^o$ (trong cùng phía)
$ΔOAD$ cân tại $O\quad (OA = OD = R)$
$\Rightarrow \widehat{OAD} = \dfrac{180^o - \widehat{AOD}}{2}$
$ΔO'AE$ cân tại $O' \quad (O'A = O'E = R')$
$\Rightarrow \widehat{O'AE} = \dfrac{180^o - \widehat{AO'E}}{2}$
Ta được:
$\widehat{OAD} + \widehat{O'AE} = \dfrac{360^o - (\widehat{OAD} + \widehat{OAE})}{2}$
$\Rightarrow \widehat{OAD} + \widehat{O'AE} = \dfrac{360^o - 180^o}{2} = 90^o$
$\Rightarrow \widehat{DAE} = 180^o - (\widehat{OAD} + \widehat{O'AE}) = 90^o$
b) Ta có: $\widehat{ADB} =90^o$ (nhìn đường kính $AB$ của $(O)$)
$\widehat{AEC} = 90^o$ (nhìn đường kính $AC$ cùa $(O')$)
$\Rightarrow \widehat{MDA} = \widehat{MEA} = 90^o$
Xét tứ giác $ADME$ có:
$\widehat{DAE} = \widehat{MDA} = \widehat{MEA} = 90^o$
Do đó $ADME$ là hình chữ nhật
c) Ta có:
$ADME$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow \widehat{MAD} = \widehat{ADE}$
mà $\widehat{ADE} = \widehat{ADB}$ (cùng chắn $\mathop{AD}\limits^{\displaystyle\frown}$)
nên $\widehat{MAD} = \widehat{ADB}$
Ta lại có:
$\widehat{ADB} + \widehat{DAB} = 90^o$
$\Rightarrow \widehat{MAD} + \widehat{DAB} = \widehat{MAB} = 90^o$
$\Rightarrow MA\perp AB$
$\Rightarrow MA\perp OO'$
$\Rightarrow MA$ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn
