Đáp án: x = 8/3; y = 16/3

Giải thích các bước giải: Điều kiện 4x + 10y ≥ 0; 2x + 2y ≥ 0

Đặt

{ u = √(4x + 10y) ≥ 0 ⇒ u² = 4x + 10y

{ v = √(2x + 2y) ≥ 0 ⇒ v² = 2x + 2y

⇒

{ u² + v² = 6x + 12y = 6(x + 2y) ⇒ x + 2y = (1/6)(u² + v²)

{ uv = √(4x + 10y).√(2x + 2y) = 2√[(2x + 5y)(x + y)] = 2√(2x² + 7xy + 5y²)

Thay tất cả vào HPT đã cho ta có HPT tương đương:

{ u - v = 4

{ (1/6)(u² + v²) + (1/3)uv = 24

⇔

{ u - v = 4

{ (u + v)²= 144

⇔

{ u - v = 4

{ u + v = 12 (vì u; v ≥ 0)

⇔

{ u = 8

{ v = 4

⇔

{ 4x + 10y = 64

{ 2x + 2y = 16

⇔

{ 2x + 5y = 32

{ 2x + 2y = 16

⇔

{ x = 8/3

{ y = 16/3

Giải thích các bước giải:

 ĐKXĐ:  \(\left\{ \begin{array}{l}
2x + 5y \ge 0\\
x + y \ge 0
\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {4x + 10y}  - \sqrt {2x + 2y}  = 4\\
x + 2y + \frac{{2\sqrt {2{x^2} + 7xy + 5{y^2}} }}{3} = 24
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {4x + 10y} \right) - 2.\sqrt {4x + 10y} .\sqrt {2x + 2y}  + \left( {2x + 2y} \right) = 16\\
x + 2y + \frac{2}{3}.\sqrt {2{x^2} + 7xy + 5{y^2}}  = 24
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {6x + 12y} \right) - 2.\sqrt 2 .\sqrt {2x + 5y} .\sqrt 2 .\sqrt {x + y}  = 16\\
\left( {x + 2y} \right) + \frac{2}{3}.\sqrt {2{x^2} + 7xy + 5{y^2}}  = 24
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
6\left( {x + 2y} \right) - 4.\sqrt {\left( {2x + 5y} \right)\left( {x + y} \right)}  = 16\\
\left( {x + 2y} \right) + \frac{2}{3}.\sqrt {2{x^2} + 7xy + 5{y^2}}  = 24
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3\left( {x + 2y} \right) - 2\sqrt {2{x^2} + 7xy + 5{y^2}}  = 8\\
\left( {x + 2y} \right) + \frac{2}{3}\sqrt {2{x^2} + 7xy + 5{y^2}}  = 24
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + 2y = \frac{{40}}{3}\\
\sqrt {2{x^2} + 7xy + 5{y^2}}  = 16
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{40}}{3} - 2y\\
2.{\left( {\frac{{40}}{3} - 2y} \right)^2} + 7.y.\left( {\frac{{40}}{3} - 2y} \right) + 5{y^2} = {16^2}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{40}}{3} - 2y\\
\left[ \begin{array}{l}
y = \frac{{16}}{3}\\
y = \frac{{ - 56}}{3}
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{8}{3};y = \frac{{16}}{3}\\
x = \frac{{152}}{3};\,\,y = \frac{{ - 56}}{3}
\end{array} \right.
\end{array}\)