Đáp án:
\(S = \left\{ {0;9;\dfrac{{9 \pm \sqrt {65} }}{2}} \right\}\).
Giải thích các bước giải:
\(\sqrt x + \sqrt {9 - x} = \sqrt { - {x^2} + 9x + 9} \) (ĐK: \(0 \le x \le 9,\,\, - {x^2} + 9x + 9 \ge 0\))
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x + 9 - x + 2\sqrt {x\left( {9 - x} \right)} = - {x^2} + 9x + 9\\ \Leftrightarrow 9 + 2\sqrt { - {x^2} + 9x} = - {x^2} + 9x + 9\\ \Leftrightarrow 2\sqrt { - {x^2} + 9x} = - {x^2} + 9x\end{array}\)
Đặt \(t = \sqrt { - {x^2} + 9x} \,\,\left( {t \ge 0} \right)\) ta có:
\(2t = {t^2} \Leftrightarrow {t^2} - 2t = 0 \Leftrightarrow t\left( {t - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 2\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\)
Với \(t = 0 \Leftrightarrow \sqrt { - {x^2} + 9x} = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 9x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 9\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\).
Với \(t = 2 \Leftrightarrow \sqrt { - {x^2} + 9x} = 2 \Leftrightarrow - {x^2} + 9x = 4 \Leftrightarrow x = \dfrac{{9 \pm \sqrt {65} }}{2}\,\,\left( {tm} \right)\).
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {0;9;\dfrac{{9 \pm \sqrt {65} }}{2}} \right\}\).
