Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

$\widehat {BAD} = \widehat {ADH} = \widehat {BHD} = {90^0}$

$ \Rightarrow ABHD$ là hình chữ nhật.

Mà $AB=AD$

$ \Rightarrow ABHD$ là hình vuông.

b) Ta có:

$ABHD$ là hình vuông

$\to AB=DH$

$\to CH=AB$ (Do $CD=2AB$)

Mà $CH//AB$

$\to ABCH$ là hình bình hành.

$\to AC,BH$ giao nhau tại trung điểm mỗi đường.

Mặt khác: $M$ là trung điểm của $BH$

$\to M$ là trung điểm của $AC$

$\to A,C$ đối xứng với nhau qua $M$

c) Ta có:

$ABHD$ là hình vuông.

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \widehat {AHD} = \widehat {DAH} = {45^0}\\
 \Rightarrow \widehat {DHQ} = \widehat {DAP} = {45^0}
\end{array}$

Lại có:

$\Delta DAC;\widehat {ADC} = {90^0};DI \bot AC = I$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \widehat {ADI} = \widehat {DCA}\\
 \Rightarrow \widehat {ADP} = \widehat {DCA}\left( 1 \right)
\end{array}$

Mà $\Delta DAC;\widehat {ADC} = {90^0};DI \bot AC = I$ và $M$ là trung điểm của $AC$

$ \Rightarrow \Delta MCD$ là tam giác cân ở $M$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \widehat {MCD} = \widehat {MDC}\\
 \Rightarrow \widehat {HDQ} = \widehat {DCA}\left( 1 \right)
\end{array}$

Từ $(1),(2)$$ \Rightarrow \widehat {ADP} = \widehat {HDQ}$

Ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {ADP} = \widehat {HDQ}\\
AD = HD\left( { = AB} \right)\\
\widehat {DHQ} = \widehat {DAP}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta ADP = \Delta HDQ\left( {g.c.g} \right)
\end{array}$

d) Ta có:

$ABHD$ là hình vuông.

$\to AH$ là đường trung trực của $BD$

$\to PD=PB; QD=QB$

Mà $\Delta ADP = \Delta HDQ\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow DP = DQ$

$ \Rightarrow DP = DQ = BP = BQ$

$\to BPDQ$ là hình thoi.