Xét tích phân có biến là (-t)
d(-t)=-d(t)
f(t)=f(-t) vì hàm chẵn
Cận: -x → x ; x→-x
Ta có:
$\int\limits^{x}_{-x} {\frac{f(t)}{1+a^{t}}} \, dt=$$\int\limits^{-x}_x {\frac{f(-t)}{1+a^{-t}} }\, (-dt)$
$=\int\limits^{-x}_x {a^t.\frac{f(t)}{a^{t}+1}} \, (-dt)=$ $\int\limits^{x}_{-x} {\frac{a^tf(t)}{1+a^{t}}} \, dt$
Suy ra: 2.$\int\limits^{x}_{-x} {\frac{f(t)}{1+a^{t}}} \, dt=$$\int\limits^{x}_{-x} {\frac{f(t)}{1+a^{t}}} \, dt+$$\int\limits^{x}_{-x} {\frac{a^tf(t)}{1+a^{t}}} \, dt$
=$\int\limits^{x}_{-x} {f(t)} \, dt=2$ $\int\limits^{x}_{-x} {f(t)} \, dt$ (vì f(t) là hàm chẵn)
⇒ Đpcm
