Đáp án:
b. $A^{2} = A$ khi $x = 0$
$A^{2} < A$ khi $x > 0 ; x \ne 1$
c. $x > 1$
Giải thích các bước giải:
ĐKXĐ : $x ≥ 0 ; x \ne 1$
b. Xét các trường hợp :
+) $x = 0$
⇒ $A = 0$
⇒ $A^{2} = A$
+) $x > 0 ; x \ne 1$
Ta xét hiệu :
$A^{2} - A = A( A - 1 )$
= $\frac{\sqrt[]{x}}{x+\sqrt[]{x}+1}×( \frac{\sqrt[]{x}}{x+\sqrt[]{x}+1} - 1 )$
= $\frac{\sqrt[]{x}}{x+\sqrt[]{x}+1}×\frac{\sqrt[]{x}-x-\sqrt[]{x}-1}{x+\sqrt[]{x}+1}$
= $\frac{\sqrt[]{x}×(-x-1)}{(x+\sqrt[]{x}+1)^{2}}$
Vì $x > 0$
⇒ $- x - 1 < 0$
⇒ $\sqrt[]{x}×( - x - 1 ) < 0$
⇒ $\frac{\sqrt[]{x}×(-x-1)}{(x+\sqrt[]{x}+1)^{2}} < 0$
⇔ $A^{2} - A < 0$
⇔ $A^{2} < A$
c. $Q = \frac{\sqrt[]{x}}{x+\sqrt[]{x}+1}×\frac{x+\sqrt[]{x}+1}{\sqrt[]{x}-1}$
⇔ $Q = \frac{\sqrt[]{x}}{\sqrt[]{x}-1}$
Để $Q ≥ 0$
⇔ $\frac{\sqrt[]{x}}{\sqrt[]{x}-1} ≥ 0$
Vì $\sqrt[]{x} ≥ 0$ với ∀ $x ≥ 0 ; x \ne 1$
⇒ $\sqrt[]{x} - 1 > 0$
⇔ $x > 1$
Kết hợp đkxđ ⇒ $x > 1$
