Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Đặt $(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z})=(a;b;c)$
Thì $a^2+b^2+c^2 \geq 12$ và $A=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}$
(Việc đặt ẩn phụ chỉ nhằm mục đích làm biểu thức dễ nhìn hơn, bạn không đặt cũng không sao cả, cách làm vẫn y hệt)
Ta có:
$A^2=(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})^2$
$A^2=\frac{a^4}{b^2}+\frac{b^4}{c^2}+\frac{c^4}{a^2}+\frac{2a^2b}{c}+\frac{2b^2c}{a}+\frac{2c^2a}{b}$
$A^2=(\frac{a^4}{b^2}+\frac{a^2b}{c}+\frac{a^2b}{c}+c^2)+(\frac{b^4}{c^2}+\frac{b^2c}{a}+\frac{b^2c}{a}+a^2)+(\frac{c^4}{a^2}+\frac{c^2a}{b}+\frac{c^2a}{b}+b^2)-(a^2+b^2+c^2)$
$A^2 \geq 4\sqrt[4]{\frac{a^8b^2c^2}{b^2c^2}}+4\sqrt[4]{\frac{b^8c^2a^2}{c^2a^2}}+4\sqrt[4]{\frac{c^8a^2b^2}{a^2b^2}}-(a^2+b^2+c^2)$
$A^2 \geq 3(a^2+b^2+c^2)$
$A \geq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)} \geq \sqrt{3.12}=6$
$A_{min}=6$ khi $a=b=c=2$ hay $x=y=z=4$
