Đáp án:

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} Bài\ 2:\ m=\frac{-5}{2}\\ Bài\ 3:\\ AC=4cm;\ AH=2,4cm\\ BH=1,8cm;CH=3,2cm\\ Bài\ 4:\\ S_{\vartriangle ABC} =150cm^{2} \end{array}$

Giải thích các bước giải:

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} Bài\ 2:\\ Pt\ ( *) \ mx^{2} -5x-m-5=0\\ Để\ phương\ trình\ ( *) \ có\ nghiệm\ kép\\ \Leftrightarrow \{_{\Delta =( -5)^{2} -4.m( -m-5) =4m^{2} +20m+25=0}^{a=m\neq 0}\\ \Leftrightarrow \{_{m=\frac{-5}{2}}^{m\neq 0} \Leftrightarrow m=\frac{-5}{2}\\ Khi\ đó\ pt\ có\ nghiệm\ kép\ x_{1} =x_{2} =-2\ tại\ m=\frac{-5}{2}\\ Bài\ 3:\\ Xét\ \vartriangle ABC\ vuông\ tại\ A\\ \Rightarrow \ AB^{2} +AC^{2} =BC^{2}\\ \Rightarrow AC=\sqrt{5^{2} -3^{2}} =4cm\\ Xét\ \vartriangle ABC\ vuông\ tại\ A,\ đường\ cao\ AH\\ \Rightarrow AC^{2} =BC.CH\ và\ AB^{2} =BC.BH\\ \Rightarrow CH=3,2\ cm;\ BH=1,8cm\\ \vartriangle ABC\ vuông\ tại\ A,\ đường\ cao\ AH\\ \Rightarrow AH^{2} =BH.CH=3,2.1,8=5,76\\ \Rightarrow AH=2,4cm\\ Bài\ 4:\\ Xét\ \vartriangle ABC\ vuông\ tại\ A,\ đường\ cao\ AH\\ \Rightarrow AH^{2} =BH.CH\\ mà\ AH=12\ cm,\ BH=9cm\\ \Rightarrow CH=16cm\\ \Rightarrow BC=BH+CH=25cm\\ Diện\ tích\ tam\ giác\ ABC\ là:\\ S_{\vartriangle ABC} =\frac{1}{2} .AH.BC=\frac{1}{2} .12.25=150cm^{2}\\ \\ \end{array}$

Bài 2: Xét phương trình `mx^2-5x-m-5=0` $(*)$

Có `Δ=(-5)^2-4m(-m-5)=25+4m^2+20m=4m^2+20m+25=(2m+5)^2`

Phương trình $(*)$ có nghiệm kép 

`⇔Δ=0` 

`⇔(2m+5)^2=0` 

`⇔2m+5=0` 

`⇔2m=-5` 

`⇔m={-5}/{2}` 

Khi đó, phương trình có nghiệm kép: `x_{1}=x_{2}={5}/{m}={5}/{{-5}/{2}}=-2`

Vậy với `m={-5}/{2}` thì phương trình $(*)$ có nghiệm kép `x_{1}=x_{2}=-2`

Bài 3:

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔABC` vuông tại `A` $(gt)$, `AH\botBC` có:

`AB^2=BH.BC`

Hay `3^2=BH.5`

`⇔9=BH.5`

`⇔BH={9}/{5}` `(cm)`

Có `BC=BH+CH`

`⇒CH=BC-BH=5-{9}/{5}={16}/{5}` `(cm)`

Áp dụng định lý Pytago trong `ΔABC` vuông tại `A` $(gt)$ có:

`BC^2=AB^2+AC^2`

Hay `5^2=3^2+AC^2`

`⇒AC^2=5^2-3^2=25-9=16`

`⇒AC=4` `(cm)`

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong  `ΔABC` vuông tại `A`, `AH\botBC` có:

`AH.BC=AB.AC`

Hay `AH.5=3.4`

`⇔AH.5=12`

`⇔AH={12}/{5}` `(cm)`

Bài 4:

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong  `ΔABC` vuông tại `A`, `AH\botBC` có:

`AH^2=BH.CH`

Hay `12^2=9.CH`

`⇔144=9.CH`

`⇔CH=16` `(cm)`

`⇒BC=BH+CH=9+16=25` `(cm)`

`S_{ABC}={1}/{2}.AH.BC={1}/{2}.12.25=150` `(cm^2)`