Giải thích các bước giải:
Lưu ý: Em hãy tách riêng rồi gửi thành câu hỏi mới nhé.
Ở đây c sẽ hướng dẫn em bài 1
1) Ta có: \(\frac{2}{5} : \frac{3}{4} : \frac{1}{6} = \frac{24}{60} : \frac{45}{60} : \frac{10}{60} = 24 : 45 : 10\)
Giả sử số M được chia thành ba phần \(x, y, z\).
Theo đề bài, ta có: \(\frac{x}{24} = \frac{y}{45} = \frac{z}{10}\). Suy ra \(x, y, z\) cùng dấu và:
\(\frac{x^2}{24^2} = \frac{y^2}{45^2} = \frac{z^2}{10^2} = \frac{x^2 + y^2 + z^2}{24^2 + 45^2 + 10^2} = \frac{24309}{2701} = 9 = 3^2\).
Suy ra: \(x^2 = 3^2 . 24^2 = 72^2 \Rightarrow x = \pm 72\);
\(y^2 = 3^2 . 45^2 = 135^2 \Rightarrow y = \pm 135\)
\(z^2 = 2^2 . 10^2 = 20^2 \Rightarrow z = \pm 20\)
Vậy \(M = 72 + 135 + 20 = 227\) hoặc \(M = (-72) + (-135) + (-20) = -227\)
2) Ta có: \(\frac{1}{\sqrt{k}} = \frac{2}{\sqrt{k} + \sqrt{k}} > \frac{2}{\sqrt{k + 1} + \sqrt{k}} = 2(\sqrt{k + 1} - \sqrt{k})\) với \(k \in \mathbb{N^*}\)
Do đó \(A >1+ 2[(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}) + ..... + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2})] = 1+2(\sqrt{n + 1} - \sqrt{2}) \)
Ta xét hiệu:\(1+2(\sqrt{n+1}-\sqrt{2})-\sqrt{n}=2(\sqrt{n+1}-\sqrt{2})-(\sqrt{n}-1)=2\frac{n-1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{2}}-\frac{n-1}{\sqrt{n}+1}=(n-1)\left ( \frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{n}+1} \right )\)
Vì \(2\sqrt{n}=\sqrt{n+3n}>\sqrt{n+1};2>\sqrt{2}\Rightarrow 2\sqrt{n}+2>\sqrt{n+1}+\sqrt{2}\Rightarrow \frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{2}}>\frac{1}{\sqrt{n}+1}\)
\(\Rightarrow 1+2\left ( \sqrt{n+1}-\sqrt{2} \right )-\sqrt{n}\geq 0\Rightarrow1+2\left ( \sqrt{n+1}-\sqrt{2} \right )\geq \sqrt{n}\)
\(\Rightarrow A\geq \sqrt{n}\) (Điều phải chứng minh)
