Đáp án: $Q_{min}=10+16\sqrt{5}$ khi `x=\frac{10+8\sqrt{5}}{5}`
Giải thích các bước giải:
Ta có:
`Q=5x+\frac{64}{x-2}=\frac{5x^2-10x+64}{x-2}`
Đặt $x-2=y(y≥3>0)⇒x=y+2$
Khi đó:
`Q=\frac{5(y+2)^2-10(y+2)+64}{y}=\frac{5y^2+20y+20-10y-20+64}{y}`
`=\frac{5y^2+10y+64}{y}=5y+10+\frac{64}{y}`
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số thực dương, ta được:
`5y+\frac{64}{y}≥2\sqrt{5y.\frac{64}{y}}=2.\sqrt{320}=16\sqrt{5}`
`⇒Q=5y+10+\frac{64}{y}≥10+16\sqrt{5}`
Dấu bằng xảy ra
`⇔\frac{64}{y}=5y`
$⇔5y^2=64$
`⇔y^2=\frac{64}{5}`
`⇔y=\frac{8\sqrt{5}}{5}` (do y>0)(thỏa mãn)
`⇔x-2=\frac{8\sqrt{5}}{5}⇔x=\frac{8\sqrt{5}}{5}+2=\frac{10+8\sqrt{5}}{5}`