`a)`
+) Xét tam giác `ABD` có `:`
`M` là trung điểm `AB`
`P` là trung điểm `BD`
`⇒` `MP` là đường trung bình trong tam giác `ABD.`
`→` `MP` `//` `AD` `(1)`
`MP` = `1/2` . `AD` `(2)`
+) Xét tam giác `ADC` có `:`
`Q` là trung điểm `AC`
`N` là trung điểm của `DC`
`⇒` `NQ` là đường trung bình trong tam giác `ADC.`
`→` `NQ` `//` `AD` `(3)`
`NQ` = `1/2` . `AD` `(4)`
Từ `(1)` và `(3)` `⇒` `NQ` // `MP`
Từ `(2)` và `(4)` `⇒` `NQ` = `MP` ( cùng bằng `1/2` . `AD` )
Xét tứ giác `MNPQ` có `:`
`NQ` // `MP` `(cmt)`
`NQ` = `MP` `(cmt)`
`⇒` tứ giác `MPNQ` là hình bình hành `(đpcm)`
`b)`
Xét tam giác `ABC` có `:`
`M` là trung điểm của `AB`
`Q` là trung điểm của `AC`
`⇒` `MQ` là đường trung bình trong tam giác `ABC`
`→` `MQ` // `BC`
`MQ` = `1/2` . `BC`
mà `NQ` = `1/2` . `AD` `(cmt)`
Để tứ giác `MNPQ` là hình thoi ta cần phải có `:`
`NQ` = `MQ`
hay `1/2` . `AD` = `1/2` . `BC`
hay `AD` = `BC`
Vậy muốn `MPNQ` là hình thoi thì hình thang ABCD cần thêm điều kiện `:`
`AD` = `BC`
hay hình thang phải cân
