Đáp án:
\(\begin{array}{l}
1)\quad y= \dfrac{-3x^3 +15x^2 - 161x}{27} + \dfrac{1}{3}C_1.e^{3x} + C_2\\
2)\quad y = \dfrac{-21x^2 + 22x}{98} + \dfrac{1}{7}C_1.e^{7x} + C_2
\end{array}\)
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
1)\quad y'' - 3y' - 10 = x^2 - 4x + 9\\
\text{Đặt}\ p = y'\\
\Rightarrow p' = y''\\
\text{Phương trình trở thành:}\\
\quad p' - 3p = x^2 - 4x + 19\qquad (*)\\
\text{Ngihệm của phương trình thuần nhất tương ứng có dạng:}\\
\quad p = C.e^{\displaystyle\int3dx}\\
\Leftrightarrow p = C.e^{3x}\\
\text{Do đó nghiệm của $(*)$ có dạng:}\\
\quad p = C(x).e^{3x}\\
\Leftrightarrow p' = C'(x).e^{3x} + 3C(x).e^{3x}\\
\text{Thay vào $(*)$ ta được:}\\
\quad C'(x).e^{3x} + 3C(x).e^{3x} - 3C(x).e^{3x} = x^2 - 4x + 19\\
\Leftrightarrow C'(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 19}{e^{3x}}\\
\Leftrightarrow C(x) = - \dfrac{9x^2 -30x + 161}{27e^{3x}} + C_1\\
\text{Khi đó:}\\
\quad p = - \dfrac{9x^2 - 30x + 161}{27} + C_1.e^{3x}\\
\Leftrightarrow y' = - \dfrac{9x^2 - 30x + 161}{27} + C_1.e^{3x}\\
\Leftrightarrow y= \dfrac{-3x^3 +15x^2 - 161x}{27} + \dfrac{1}{3}C_1.e^{3x} + C_2\\
2)\quad y'' - 7y' = 3x - 2\\
\text{Đặt}\ p = y'\\
\Rightarrow p' = y''\\
\text{Phương trình trở thành:}\\
\quad p' - 7p = 3x - 2\qquad (**)\\
\text{Ngihệm của phương trình thuần nhất tương ứng có dạng:}\\
\quad p = C.e^{\displaystyle\int7dx}\\
\Leftrightarrow p = C.e^{7x}\\
\text{Do đó nghiệm của $(*)$ có dạng:}\\
\quad p = C(x).e^{7x}\\
\Leftrightarrow p' = C'(x).e^{7x} + 7C(x).e^{7x}\\
\text{Thay vào $(**)$ ta được:}\\
\quad C'(x).e^{7x} + 7C(x).e^{7x} - 7C(x).e^{7x} = 3x - 2\\
\Leftrightarrow C'(x) =\dfrac{3x -2}{e^{7x}}\\
\Leftrightarrow C(x) = - \dfrac{21x - 11}{49e^{7x}} + C_1\\
\text{Khi đó:}\\
\quad p = - \dfrac{21x - 11}{49} + C_1.e^{7x}\\
\Leftrightarrow y' = - \dfrac{21x - 11}{49} + C_1.e^{7x}\\
\Leftrightarrow y = \dfrac{-21x^2 + 22x}{98} + \dfrac{1}{7}C_1.e^{7x} + C_2
\end{array}\)
