Đáp án:
$1)\quad y = x.e^x + C.e^x$
$2)\quad y = e^{-x} + \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot e^{-x^2 - \tfrac14}\cdot \text{erfi}\left(x -\dfrac12\right) + C.e^{-x^2}$
Giải thích các bước giải:
$1)\quad y' - y = e^x\qquad (*)$
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là:
$\quad y = C.e^{\displaystyle\int dx}$
$\Leftrightarrow y = C.e^x$
Do đó, nghiệm của $(*)$ có dạng:
$\quad y = C(x).e^x$
$\Leftrightarrow y' = C'(x).e^x + C(x).e^x$
Thay vào $(*)$ ta được:
$\quad C'(x).e^x + C(x).e^x - C(x).e^x = e^x$
$\Leftrightarrow C'(x)= 1$
$\Leftrightarrow C(x)= x + C$
Vậy $y = x.e^x + C.e^x$
$2)\quad y' + 2xy = 2x.e^{-x}\qquad (**)$
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là:
$\quad y = C.e^{\displaystyle\int -2xdx}$
$\Leftrightarrow y = C.e^{-x^2}$
Do đó, nghiệm của $(**)$ có dạng:
$\quad y = C(x).e^{-x^2}$
$\Leftrightarrow y' = C'(x).e^{-x^2} - C(x).2x.e^{-x^2}$
Thay vào $(**)$ ta được:
$\quad C'(x).e^{-x^2} - C(x).2x.e^{-x^2} + 2x.C(x).e^{-x^2} = 2x.e^{-x}$
$\Leftrightarrow C'(x)= 2x.e^{x^2 - x}$
$\Leftrightarrow C(x)= e^{x^2 - x} + \dfrac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt[4]{e}}\text{erfi}\left(x -\dfrac12\right) + C$
Vậy $y = e^{-x} + \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot e^{-x^2 - \tfrac14}\cdot \text{erfi}\left(x -\dfrac12\right) + C.e^{-x^2}$
